مواضيع المحاضرة: CalcI_Integrals_Solutions
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CALCULUS   I 

Solutions to Practice Problems

 

Integrals 

 

Paul Dawkins 

 

 


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Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Table of Contents 

 
Preface ............................................................................................................................................ 1

 

Integrals .......................................................................................................................................... 1

 

Indefinite Integrals ................................................................................................................................... 1

 

Computing Indefinite Integrals ............................................................................................................... 6

 

Substitution Rule for Indefinite Integrals ..............................................................................................20

 

More Substitution Rule ...........................................................................................................................37

 

Area Problem ...........................................................................................................................................50

 

The Definition of the Definite Integral ...................................................................................................57

 

Computing Definite Integrals .................................................................................................................65

 

Substitution Rule for Definite Integrals .................................................................................................79

 

 
 

Preface 

 
Here are the solutions to the practice problems for my Calculus I notes.  Some solutions will have 
more or less detail than other solutions.  The level of detail in each solution will depend up on 
several issues.  If the section is a review section, this mostly applies to problems in the first 
chapter, there will probably not be as much detail to the solutions given that the problems really 
should be review.  As the difficulty level of the problems increases less detail will go into the 
basics of the solution under the assumption that if you’ve reached the level of working the harder 
problems then you will probably already understand the basics fairly well and won’t need all the 
explanation.  
 
This document was written with presentation on the web in mind.  On the web most solutions are 
broken down into steps and many of the steps have hints.  Each hint on the web is given as a 
popup however in this document they are listed prior to each step.  Also, on the web each step can 
be viewed individually by clicking on links while in this document they are all showing.  Also, 
there are liable to be some formatting parts in this document intended for help in generating the 
web pages that haven’t been removed here.  These issues may make the solutions a little difficult 
to follow at times, but they should still be readable. 
 

Integrals 

 

 

Indefinite Integrals 

 
1. Evaluate each of the following indefinite integrals. 

    (a) 

5

2

6

18

7

x

x

dx

+

  


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Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

    (b) 

5

2

6

18

7

x dx

x

+

 

 
 
Hint : As long as you recall your derivative rules and the fact that all this problem is really asking 
is the for us to determine the function that we differentiated to get the integrand (i.e. the function 
inside the integral….) this problem shouldn’t be too difficult. 
 

(a) 

5

2

6

18

7

x

x

dx

+

  

All we are being asked to do here is “undo” a differentiation and if you recall the basic 
differentiation rules for polynomials this shouldn’t be too difficult.  As we saw in the notes for 
this section all we really need to do is increase the exponent by one (so upon differentiation we 
get the correct exponent) and then fix up the coefficient to make sure that we will get the correct 
coefficient upon differentiation. 
 
Here is the answer for this part. 
 

 

5

2

6

3

6

18

7

6

7

x

x

dx

x

x

x

c

+

=

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 
Also don’t forget that you can easily check your answer by differentiating your answer and 
making sure that the result is the same as the integrand. 
 

(b) 

5

2

6

18

7

x dx

x

+

  

This part is not really all that different from the first part.  The only difference is the placement of 
the dx.  Recall that one of the things that the dx tells us where to end the integration.  So, in the 
part we are only going to integrate the first term. 
 
Here is the answer for this part. 
 

 

5

2

6

2

6

18

7

18

7

x dx

x

x

c

x

+ =

+ −

+

 

 

 
 
2. Evaluate each of the following indefinite integrals. 

    (a) 

3

2

40

12

9

14

x

x

x

dx

+

+

  

    (b) 

3

2

40

12

9

14

x

x

x dx

+

+

   

    (c) 

3

2

40

12

9

14

x

x dx

x

+

+

 


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Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 
 
Hint : As long as you recall your derivative rules and the fact that all this problem is really asking 
is the for us to determine the function that we differentiated to get the integrand (i.e. the function 
inside the integral….) this problem shouldn’t be too difficult. 
 

(a) 

3

2

40

12

9

14

x

x

x

dx

+

+

  

All we are being asked to do here is “undo” a differentiation and if you recall the basic 
differentiation rules for polynomials this shouldn’t be too difficult.  As we saw in the notes for 
this section all we really need to do is increase the exponent by one (so upon differentiation we 
get the correct exponent) and then fix up the coefficient to make sure that we will get the correct 
coefficient upon differentiation. 
 
Here is that answer for this part. 
 

 

3

2

4

3

2

9
2

40

12

9

14

10

4

14

x

x

x

dx

x

x

x

x

c

+

+

=

+

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 
Also don’t forget that you can easily check your answer by differentiating your answer and 
making sure that the result is the same as the integrand. 
 

(b) 

3

2

40

12

9

14

x

x

x dx

+

+

  

This part is not really all that different from the first part.  The only difference is the placement of 
the dx.  Recall that one of the things that the dx tells us where to end the integration.  So, in the 
part we are only going to integrate the first term. 
 
Here is the answer for this part. 
 

 

3

2

4

3

2

9
2

40

12

9

14

10

4

14

x

x

x dx

x

x

x

c

+

+

=

+

+ +

 

 

(c) 

3

2

40

12

9

14

x

x dx

x

+

+

   

The only difference between this part and the previous part is that the location of the dx moved. 
 
Here is the answer for this part. 
 

 

3

2

4

3

40

12

9

14

10

4

9

14

x

x dx

x

x

x

c

x

+

+

=

+

+ −

+

 

 

 


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Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

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3. Evaluate 

7

2

12

3

t

t

t

dt

− − +

.  

 
Hint : As long as you recall your derivative rules and the fact that all this problem is really asking 
is the for us to determine the function that we differentiated to get the integrand (i.e. the function 
inside the integral….) this problem shouldn’t be too difficult. 
 
Solution  
All we are being asked to do here is “undo” a differentiation and if you recall the basic 
differentiation rules for polynomials this shouldn’t be too difficult.  As we saw in the notes for 
this section all we really need to do is increase the exponent by one (so upon differentiation we 
get the correct exponent) and then fix up the coefficient to make sure that we will get the correct 
coefficient upon differentiation. 
 
Here is the answer. 
 

 

7

2

8

3

2

3

1

1

2

3

2

12

3

3

t

t

t

dt

t

t

t

t

c

− − +

=

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 
Also don’t forget that you can easily check your answer by differentiating your answer and 
making sure that the result is the same as the integrand. 
 

 
 

4. Evaluate 

4

3

10

9

7

w

w

w dw

+

+

.  

 
Hint : As long as you recall your derivative rules and the fact that all this problem is really asking 
is the for us to determine the function that we differentiated to get the integrand (i.e. the function 
inside the integral….) this problem shouldn’t be too difficult. 
 
Solution  
All we are being asked to do here is “undo” a differentiation and if you recall the basic 
differentiation rules for polynomials this shouldn’t be too difficult.  As we saw in the notes for 
this section all we really need to do is increase the exponent by one (so upon differentiation we 
get the correct exponent) and then fix up the coefficient to make sure that we will get the correct 
coefficient upon differentiation. 
 
Here is the answer. 
 


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Calculus I 

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4

3

5

4

2

9

7

4

2

10

9

7

2

w

w

w dw

w

w

w

c

+

+

=

+

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 
Also don’t forget that you can easily check your answer by differentiating your answer and 
making sure that the result is the same as the integrand. 
 

 
 

5. Evaluate 

6

4

2

4

z

z

z dz

+

.  

 
Hint : As long as you recall your derivative rules and the fact that all this problem is really asking 
is the for us to determine the function that we differentiated to get the integrand (i.e. the function 
inside the integral….) this problem shouldn’t be too difficult. 
 
Solution  
All we are being asked to do here is “undo” a differentiation and if you recall the basic 
differentiation rules for polynomials this shouldn’t be too difficult.  As we saw in the notes for 
this section all we really need to do is increase the exponent by one (so upon differentiation we 
get the correct exponent) and then fix up the coefficient to make sure that we will get the correct 
coefficient upon differentiation. 
 
Here is the answer. 
 

 

6

4

2

7

5

3

1

4

1

7

5

3

4

z

z

z dz

z

z

z

c

+

=

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 
Also don’t forget that you can easily check your answer by differentiating your answer and 
making sure that the result is the same as the integrand. 
 

 
 

6. Determine 

( )

f x

 given that 

( )

8

4

2

6

20

9

f

x

x

x

x

=

+

+

 
Hint : Remember that all indefinite integrals are asking us to do is “undo” a differentiation. 
 
Solution  


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We know that indefinite integrals are asking us to undo a differentiation to so all we are really 
being asked to do here is evaluate the following indefinite integral. 
 

 

( )

( )

8

4

2

9

5

3

2

1

3

3

6

20

9

4

9

f x

f

x dx

x

x

x

dx

x

x

x

x

c

=

=

+

+

=

+

+

+

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 

 
 

7. Determine 

( )

h t

 given that 

( )

4

3

2

1

h t

t

t

t

t

= − + + −

 
Hint : Remember that all indefinite integrals are asking us to do is “undo” a differentiation. 
 
Solution  
We know that indefinite integrals are asking us to undo a differentiation to so all we are really 
being asked to do here is evaluate the following indefinite integral. 
 

 

( )

( )

4

3

2

5

4

3

2

1

1

1

1

5

4

3

2

1

h t

h t dt

t

t

t

t

dt

t

t

t

t

t

c

=

=

− + + −

=

+

+

− +

 

 
Don’t forget the “+c”!  Remember that the original function may have had a constant on it and 
the “+c” is there to remind us of that. 
 

 
 
 
 

 

Computing Indefinite Integrals 

 

1. Evaluate 

6

3

4

2

7

4

x

x

x

dx

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

6

3

7

4

2

7

4

2

7

7

4

2

4

1

7

4

2

7

2

2

4

2

7

4

4

4

x

x

x

dx

x

x

x

x

c

x

x

x

x

c

+

=

+

+ =

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 


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2. Evaluate 

7

11

16

48

5

z

z

z dz

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

7

11

16

8

12

17

8

12

17

48

5

5

1

1

8

12

17

8

17

48

5

4

z

z

z dz

z

z

z

c

z

z

z

c

=

+ =

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

3. Evaluate 

3

9

3

10

12

4

t

t

t dt

+

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

3

9

3

2

8

4

2

8

4

10

3

12

4

2

8

4

2

10

12

4

5

t

t

t dt

t

t

t

c

t

t

t

c

+

+

=

+

+

+ = −

+ +

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

4. Evaluate 

2

5

10

8

w

w

dw

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

2

5

1

4

1

4

10

5

1

1

4

2

10

8

8

8

w

w

dw

w

w

w c

w

w

w c

+

=

+

+ = −

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 


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5. Evaluate 

12 dy

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

12

12

dy

y

c

=

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

6. Evaluate 

5

3

3

10

w

w dw

+

.  

 
Hint : Don’t forget to convert the roots to fractional exponents. 
 
Step 1   
We first need to convert the roots to fractional exponents. 
 

 

( )

1

1

1

3

5

3

3

5

5

3

3

3

10

10

10

w

w dw

w

w

dw

w

w dw

+

=

+

=

+

 

 
Step 2  
Once we’ve gotten the roots converted to fractional exponents there really isn’t too much to do 
other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

1

3

4

8

4

8

3

5

3

5

3

5

5

3

3

3

5

3

25

4

8

4

4

10

10

10

w

w dw

w

w dw

w

w

c

w

w

c

+

=

+

=

+

+ =

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

7. Evaluate 

6

3

7

5

10

7

17

x

x

x dx

+

.  

 
Hint : Don’t forget to convert the roots to fractional exponents. 
 


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Calculus I 

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Step 1   
We first need to convert the roots to fractional exponents. 
 

 

( )

( )

1

1

5

10

7

7

6

3

6

3

2

2

6

3

7

5

10

5

10

7

17

7

17

7

17

x

x

x dx

x

x

x

dx

x

x

x dx

+

=

+

=

+

 

 
Step 2   
Once we’ve gotten the roots converted to fractional exponents there really isn’t too much to do 
other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

5

10

7

6

3

2

13

13

9

11

9

11

6

3

6

3

2

2

6

3

7

5

10

6

3

51

2

2

42

9

11

13

9

11

13

7

17

7

17

7

17

x

x

x dx

x

x

x dx

x

x

x

c

x

x

x

c

+

=

+

=

+

+ =

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

8. Evaluate 

2

3

4

1

2

8

dx

x

x

+ −

.  

 
Hint : Don’t forget to move the x’s in the denominator to the numerator with negative exponents. 
 
Step 1   
We first need to move the x’s in the denominator to the numerator with negative exponents. 
 

 

2

3

2

3

4

1

1

2

4

2

8

8

dx

x

x dx

x

x

+ −

=

+ −

 

 
Remember that the “8” in the denominator of the third term stays in the denominator and does not 
move up with the x
 
Step 2    
Once we’ve gotten the x’s out of the denominator there really isn’t too much to do other than to 
evaluate the integral. 
 

 

2

3

2

3

1

2

1

2

4

1

1

2

4

2

8

8

1

1

1

1

4

2

4

2

1

8

2

16

dx

x

x dx

x

x

x

x

x

c

x

x

x

c

+ −

=

+ −

=

+

+ = −

+

+

+

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

10 

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Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

9. Evaluate 

6

10

4

3

7

1

2

3

dy

y

y

y

+

.  

 
Hint : Don’t forget to convert the root to a fractional exponents and move the y’s in the 
denominator to the numerator with negative exponents. 
 
Step 1   
We first need to convert the root to a fractional exponent and move the y’s in the denominator to 
the numerator with negative exponents. 
 

 

4

3

4

3

6

10

6

10

6

10

4

3

7

1

2

7

1

2

7

2

3

3

3

dy

dy

y

y

y

dy

y

y

y

y

y

y

+

=

+

=

+

 

 
Remember that the “3” in the denominator of the first term stays in the denominator and does not 
move up with the y
 
Step 2     
Once we’ve gotten the root converted to a fractional exponent and the y’s out of the denominator 
there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

4

3

1

3

1

3

6

10

6

10

4

3

5

9

5

9

7

1

2

7

2

3

3

7

1

1

3

2

3

5

9

1

7

1

6

15

9

dy

y

y

y

dy

y

y

y

y

y

y

c

y

y

y

c

+

=

+

=

+

+

= −

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 


background image

Calculus I 

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11 

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10. Evaluate 

(

)

(

)

2

1 4 3

t

t dt

+

.  

 
Hint : Remember that there is no “Product Rule” for integrals and so we’ll need to eliminate the 
product before integrating. 
 
Step 1   
Since there is no “Product Rule” for integrals we’ll need to multiply the terms out prior to 
integration. 
 

 

(

)

(

)

2

3

2

1 4 3

3

4

3

4

t

t dt

t

t

t

dt

+

=

+

− −

 

 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

(

)

(

)

2

3

2

4

3

2

3

3

4

4

3

2

1 4 3

3

4

3

4

4

t

t dt

t

t

t

dt

t

t

t

t

c

+

=

+

− −

=

+

− +

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

11. Evaluate 

2

1

4

z z

dz

z

.  

 
Hint : Remember that there is no “Product Rule” for integrals and so we’ll need to eliminate the 
product before integrating. 
 
Step 1   
Since there is no “Product Rule” for integrals we’ll need to multiply the terms out prior to 
integration. 
 

 

5

5

1

2

2

2

1

2

2

1

1

1

4

4

4

z z

dz

z

dz

z

z

dz

z

z

=

=

 

 
Don’t forget to convert the root to a fractional exponent and move the z’s out of the denominator. 
 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 


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Calculus I 

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12 

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5

7

1

1

2

2

2

2

2

1

1

2

1

4

4

7

2

z z

dz

z

z

dz

z

z

c

z

=

=

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

12. Evaluate 

8

5

3

4

6

4

2

z

z

z

dz

z

+

.  

 
Hint : Remember that there is no “Quotient Rule” for integrals and so we’ll need to eliminate the 
quotient before integrating. 
 
Step 1   
Since there is no “Quotient Rule” for integrals we’ll need to break up the integrand and simplify a 
little prior to integration. 
 

 

8

5

3

8

5

3

4

4

4

4

4

4

4

6

4

2

6

4

2

4

6

2

z

z

z

z

z

z

dz

dz

z

z

z

dz

z

z

z

z

z

z

+

=

+

=

+ −

 

 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

8

5

3

4

4

5

2

3

4

6

4

2

4

1

2

6

2

3

4 ln

5

3

z

z

z

dz

z

z

z

dz

z

z

z

z

c

z

z

+

=

+ −

=

+

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

13. Evaluate 

4

3

6

x

x

dx

x

.  

 
Hint : Remember that there is no “Quotient Rule” for integrals and so we’ll need to eliminate the 
quotient before integrating. 
 
Step 1   


background image

Calculus I 

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13 

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Since there is no “Quotient Rule” for integrals we’ll need to break up the integrand and simplify a 
little prior to integration. 
 

 

1

3

7

1

6

2

1

1

2

2

4

4

3

1

1

6

6

6

6

6

x

x

x

x

dx

dx

x

x

dx

x

x

x

=

=

 

 
Don’t forget to convert the roots to fractional exponents! 
 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

5

7

1

9

6

6

2

2

4

3

1

1

1

1

6

6

27

5

6

x

x

dx

x

x

dx

x

x

c

x

=

=

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

14. Evaluate 

( )

( )

2

sin

10 csc

x

x dx

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

( )

( )

2

sin

10 csc

cos

10 cot

x

x dx

x

x

c

+

= −

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

15. Evaluate 

( )

( ) ( )

2 cos

sec

tan

w

w

w dw

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( ) ( )

( )

( )

2 cos

sec

tan

2 sin

sec

w

w

w dw

w

w

c

=

+

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

14 

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Don’t forget to add on the “+c” since we know that we are asking what function did we 
differentiate to get the integrand and the derivative of a constant is zero and so we do need to add 
that onto the answer. 
 

 
 

16. Evaluate 

( )

( )

( )

12 csc

sin

csc

d

θ

θ

θ

θ

+

+

.  

 
Hint : From previous problems in this set we should know how to deal with the product in the 
integrand. 
 
Step 1   
Before doing the integral we need to multiply out the product and don’t forget the definition of 
cosecant in terms of sine. 
 

 

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

2

2

12 csc

sin

csc

12 csc

sin

csc

13 csc

d

d

d

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ θ

+

+

=

+

+

=

+


 

 
Recall that, 

 

( )

( )

1

csc

sin

θ

θ

=

 

and so, 

 

( ) ( )

csc

sin

1

θ

θ

=  

 
Doing this allows us to greatly simplify the integrand and, in fact, allows us to actually do the 
integral.  Without this simplification we would not have been able to integrate the second term 
with the knowledge that we currently have. 
 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

2

12 csc

sin

csc

13 csc

13

cot

d

d

c

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ

θ

+

+

=

+

=

+

 

 
Don’t forget that with trig functions some terms can be greatly simplified just by recalling the 
definition of the trig functions and/or their relationship with the other trig functions. 
 

 
 

17. Evaluate 

1

4

15

6

z

dz

z

+

e

.   


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15 

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Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

1

1 1

1

4

15

4

15

4

15

ln

6

6

6

z

z

z

dz

dz

z

z

c

z

z

+

=

+

=

+

+

e

e

e

 

 
Be careful with the “6” in the denominator of the third term.  The “best” way of dealing with it in 
this case is to split up the third term as we’ve done above and then integrate.   
 
Note that the “best” way to do a problem is always relative for many Calculus problems.  There 
are other ways of dealing with this term (later section material) and so what one person finds the 
best another may not.  For us, this seems to be an easy way to deal with the 6 and not overly 
complicate the integration process. 
 

 
 

18. Evaluate 

3

4

t

t

t

dt

e

e

.  

 
Hint : From previous problems in this set we should know how to deal with the quotient in the 
integrand. 
 
Step 1   
Before doing the integral we need to break up the quotient and do some simplification. 
 

 

3

3

3

4

4

1 4

t

t

t

t

t

t

t

dt

t

dt

t

dt

=

+

=

− +

e

e

e

e

e

e

 

 
Make sure that you correctly distribute the minus sign when breaking up the second term and 
don’t forget to move the exponential in the denominator of the third term (after splitting up the 
integrand) to the numerator and changing the sign on the t to a “+” in the process.  
 
Step 2   
At this point there really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

3

3

4

4

1

1 4

4

4

t

t

t

t

t

dt

t

dt

t

t

c

=

− +

=

− +

+

e

e

e

e

 

 

 
 


background image

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16 

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19. Evaluate 

3

6

2

dw

w

w

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

3

2

3

6

2

2

6

3

2 ln

dw

w

dw

w

w

c

w

w

w

=

= −

+

 

 
 

 
 

20. Evaluate 

2

2

1

12

1

1

dx

x

x

+

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

1

1

2

2

1

12

tan

12 sin

1

1

dx

x

x

c

x

x

+

=

+

+

+

 

 
Note that because of the similarity of the derivative of inverse sine and inverse cosine an alternate 
answer is, 
 

 

( )

( )

1

1

2

2

1

12

tan

12 cos

1

1

dx

x

x

c

x

x

+

=

+

+

 

 

 
 

21. Evaluate 

( )

2

4

6 cos

1

z

dz

z

+

.   

 

Solution  

There really isn’t too much to do other than to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

( )

1

2

4

6 cos

6 sin

4 sin

1

z

dz

z

z

c

z

+

=

+

+

 

 
Note that because of the similarity of the derivative of inverse sine and inverse cosine an alternate 
answer is, 
 


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17 

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( )

( )

( )

1

2

4

6 cos

6 sin

4 cos

1

z

dz

z

z

c

z

+

=

+

 

 

 
 
 

22. Determine 

( )

f x

 given that 

( )

2

12

4

f

x

x

x

=

 and 

( )

3

17

f

− =

.   

 
Hint : We know that integration is simply asking what function we differentiated to get the 
integrand and so we should be able to use this idea to arrive at a general formula for the function. 
 
Step 1   
Recall from the notes in this section that we saw, 
 

 

( )

( )

f x

f

x dx

=

 

 

and so to arrive at a general formula for 

( )

f x

 all we need to do is integrate the derivative that 

we’ve been given in the problem statement. 
 

 

( )

2

3

2

12

4

4

2

f x

x

x dx

x

x

c

=

=

+

 

 
Don’t forget the “+c”! 
 
Hint : To determine the value of the constant of integration, c, we have the value of the function 

at 

3

x

= −

.  

 
Step 2   

Because we have the condition that 

( )

3

17

f

− =

 we can just plug 

3

x

= −

 into our answer from 

the previous step, set the result equal to 17 and solve the resulting equation for c.   
 
Doing this gives,  
 

 

( )

17

3

126

143

f

c

c

=

− = −

+

=

 

 
The function is then, 

 

( )

3

2

4

2

143

f x

x

x

=

+

 

 

 
 


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18 

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23. Determine 

( )

g z

 given that 

( )

3

7

3

2

z

g z

z

z

=

+

− e

 and 

( )

1

15

g

=

− e

.   

 
Hint : We know that integration is simply asking what function we differentiated to get the 
integrand and so we should be able to use this idea to arrive at a general formula for the function. 
 
Step 1   
Recall from the notes in this section that we saw, 
 

 

( )

( )

g z

g z dz

=

 

 

and so to arrive at a general formula for 

( )

g z

 all we need to do is integrate the derivative that 

we’ve been given in the problem statement. 
 

 

( )

1

1

2

2

3

4

7

3

2

4

3

7

z

z

g z

z

z

dz

z

z

c

=

+

=

+

− +

e

e

 

 
Don’t forget the “+c”! 
 
Hint : To determine the value of the constant of integration, c, we have the value of the function 

at 

1

z

=

.  

 
Step 2   

Because we have the condition that 

( )

1

15

g

=

− e

 we can just plug 

1

z

=

 into our answer from 

the previous step, set the result equal to 15 – e  and solve the resulting equation for c.   
 
Doing this gives,  
 

 

( )

31

29

4

4

15

1

g

c

c

− =

= − +

=

e

e

 

 
The function is then, 

 

( )

1
2

4

3

29

4

4

7

z

g z

z

z

=

+

− +

e

 

 

 
 

24. Determine 

( )

h t

 given that 

( )

2

24

48

2

h t

t

t

′′

=

+

( )

1

9

h

= −

 and 

( )

2

4

h

− = −

.   

 

Hint : We know how to find 

( )

h t

 from 

( )

h t

 but we don’t have that.  We should however be 

able to determine the general formula for 

( )

h t

 from 

( )

h t

′′

 which we are given. 

 


background image

Calculus I 

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19 

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Step 1   
Because we know that the 2

nd

 derivative is just the derivative of the 1

st

 derivative we know that, 

 

 

( )

( )

h t

h t dt

′′

=

 

 

and so to arrive at a general formula for 

( )

h t

 all we need to do is integrate the 2

nd

 derivative that 

we’ve been given in the problem statement. 
 

 

( )

2

3

2

24

48

2

8

24

2

h t

t

t

dt

t

t

t

c

=

+

=

+ +

 

 
Don’t forget the “+c”! 
 
Hint : From the previous two problems you should be able to determine a general formula for 

( )

h t

.  Just don’t forget that c is just a constant! 

 
Step 2   
Now, just as we did in the previous two problems, all that we need to do is integrate the 1

st

 

derivative (which we found in the first step) to determine a general formula for 

( )

h t

 

 

( )

3

2

4

3

2

8

24

2

2

8

h t

t

t

t

c dt

t

t

t

ct

d

=

+ +

=

+ + +

 

 
Don’t forget that c is just a constant and so it will integrate just like we were integrating 2 or 4 or 
any other number.  Also, the constant of integration from this step is liable to be different that the 
constant of integration from the first step and so we’ll need to make sure to call it something 
different, d in this case. 
 
Hint : To determine the value of the constants of integration, c and d, we have the value of the 
function at two values that should help with that.  
 
Step 3   
Now, we know the value of the function at two values of z.  So let’s plug both of these into the 

general formula for 

( )

h t

 that we found in the previous step to get, 

 
  

 

( )

( )

9

1

5

4

2

100 2

h

c

d

h

c

d

− =

= − + +

− =

− =

+

 

 
Solving this system of equations (you do remember your Algebra class right?) for c and d gives,  
 

 

100

112

3

3

c

d

=

= −

 


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The function is then, 

 

( )

4

3

2

100

112

3

3

2

8

h t

t

t

t

t

=

+ +

 

 

 
 
 
 

 

Substitution Rule for Indefinite Integrals 

 

1. Evaluate 

(

)

(

)

4

2

8

12 4

12

x

x

x

dx

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

2

4

12

u

x

x

=

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2    
Because we need to make sure that all the x’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dx as well as the remaining x’s in the integrand. 
 

(

)

8

12

du

x

dx

=

 

 
Recall that, in most cases, we will also need to do a little manipulation of the differential prior to 
doing the substitution.  In this case we don’t need to do that. 
 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

(

)

4

2

4

5

1
5

8

12 4

12

x

x

x

dx

u du

u

c

=

=

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 


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Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

)

(

)

(

)

4

5

2

2

1
5

8

12 4

12

4

12

x

x

x

dx

x

x

c

=

+

 

 

 
 

2. Evaluate 

(

)

7

4

3

3

2

4

t

t

dt

+

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

3

2 4

u

t

= +

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the t’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dt as well as the remaining t’s in the integrand. 
 

4

12

du

t

dt

= −

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

4

1
4

3t

dt

du

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

7

4

3

7

6

1

1

4

24

3

2 4

t

t

dt

u

du

u

c

+

= −

=

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 


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(

)

(

)

7

6

4

3

3

1

24

3

2 4

2 4

t

t

dt

t

c

+

=

+

+

 

 

 
 

3. Evaluate 

(

)

(

)

10

2

3 4

4

6

7

w

w

w

dw

+

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

2

4

6

7

u

w

w

=

+  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the w’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dw as well as the remaining w’s in the integrand. 
 

(

)

8

6

du

w

dw

=

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

(

)

(

)

1
2

2 3 4

3 4

du

w dw

w dw

du

= −

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

(

)

10

2

10

11

1

1

2

22

3 4

4

6

7

w

w

w

dw

u du

u

c

+

= −

= −

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 


background image

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(

)

(

)

(

)

10

11

2

2

1

22

3 4

4

6

7

4

6

7

w

w

w

dw

w

w

c

+

= −

+

+

 

 

 
 

4. Evaluate 

(

)

3

2

5

4

8

z

z

z dz

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

2

8

u

z

z

=

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the z’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dz as well as the remaining z’s in the integrand. 
 

(

)

2

8

du

z

dz

=

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

(

)

(

)

(

)

1
2

2

8

2

4

4

du

z

dz

z

dz

z

dz

du

=

=

=

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

1

4

3

3

3

2

5

15

2

8

5

4

8

z

z

z dz

u du

u

c

=

=

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

)

(

)

4

3

3

2

2

15

8

5

4

8

8

z

z

z dz

z

z

c

=

+

 


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5. Evaluate 

(

)

2

3

90

sin 2 6

x

x

dx

+

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

3

2 6

u

x

= +

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the x’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dx as well as the remaining x’s in the integrand. 
 

2

18

du

x dx

=

 

 
Recall that, in most cases, we will also need to do a little manipulation of the differential prior to 
doing the substitution.  In this case we don’t need to do that.  When doing the substitution just 
notice that 90 = (18)(5). 
 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

( )

( )

2

3

90

sin 2 6

5sin

5 cos

x

x

dx

u du

u

c

+

=

= −

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

)

(

)

2

3

3

90

sin 2 6

5 cos 2 6

x

x

dx

x

c

+

= −

+

+

 

 

 
 


background image

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6. Evaluate 

(

) (

)

sec 1

tan 1

z

z dz

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

1

u

z

= −  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the z’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dz as well as the remaining z’s in the integrand. 
 

du

dz

= −

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

dz

du

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

) (

)

( ) ( )

( )

sec 1

tan 1

sec

tan

sec

z

z dz

u

u du

u

c

= −

= −

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

) (

)

(

)

sec 1

tan 1

sec 1

z

z dz

z

c

= −

− +

 

 

 
 

7. Evaluate 

(

) (

)

2

1

2

15

5 cos 6

t

t

t

t

dt

+

.  

 


background image

Calculus I 

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26 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

1

2

6

u

t

t

=

+  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the t’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dt as well as the remaining t’s in the integrand. 
 

(

)

2

6

2

du

t

t dt

= −

+

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

(

)

( )

(

)

(

)

2

2

2

5

5

5

2

6

2

2

3

15

5

du

t

t dt

t

t dt

t

t dt

du

= −

+

= −

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

) (

)

( )

( )

2

1

2

5

5

2

2

15

5 cos 6

cos

sin

t

t

t

t

dt

u du

u

c

+

= −

= −

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

) (

)

(

)

2

1

2

1

2

5
2

15

5 cos 6

sin 6

t

t

t

t

dt

t

t

c

+

= −

+

+

 

 

 
 

8. Evaluate 

(

)

4

2

3

7

7

2

y

y

y

y

dy

e

.  

 


background image

Calculus I 

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27 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

4

2

7

u

y

y

=

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the y’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dy as well as the remaining y’s in the integrand. 
 

(

)

3

4

14

du

y

y dy

=

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

(

)

(

)

(

)

3

3

3

1
2

4

14

2 7

2

7

2

du

y

y dy

y

y

dy

y

y

dy

du

=

= −

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

4

2

3

7

1

1

2

2

7

2

y

y

u

u

y

y

dy

du

c

= −

= −

+

e

e

e

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

)

4

2

4

2

3

7

7

1
2

7

2

y

y

y

y

y

y

dy

c

= −

+

e

e

 

 

 
 

9. Evaluate 

2

4

3

4

6

1

w

dw

w

w

+

+

.  

 
Hint : What is the derivative of the denominator?  
 


background image

Calculus I 

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28 

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Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

2

4

6

1

u

w

w

=

+

−  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the w’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dw as well as the remaining w’s in the integrand. 
 

(

)

8

6

du

w

dw

=

+

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

(

)

(

)

1
2

2 4

3

4

3

du

w

dw

w

dw

du

=

+

+

=

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

2

4

3

1

1

1

ln

4

6

1

2

2

w

dw

du

u

c

w

w

u

+

=

=

+

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

2

2

4

3

1

ln 4

6

1

4

6

1

2

w

dw

w

w

c

w

w

+

=

+

− +

+

 

 

 
 

10. Evaluate 

( )

(

)

( )

(

)

5

2

3

cos 3

sin 3

t

t

t

t

dt

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   


background image

Calculus I 

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29 

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In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

( )

3

sin 3

u

t

t

=

−  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the t’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dt as well as the remaining t’s in the integrand. 
 

( )

(

)

2

3cos 3

3

du

t

t

dt

=

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

( )

(

)

( )

(

)

2

2

1
3

3 cos 3

cos 3

du

t

t

dt

t

t

dt

du

=

=

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( )

(

)

( )

(

)

5

2

3

5

6

1

1

3

18

cos 3

sin 3

t

t

t

t

dt

u du

u

c

=

=

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

5

6

2

3

3

1

18

cos 3

sin 3

sin 3

t

t

t

t

dt

t

t

c

=

+

 

 

 
 

11. Evaluate 

(

)

1

4

cos

ln

z

z

z dz

z

+

e

e

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 


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Calculus I 

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30 

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ln

z

u

z

=

+

e

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the z’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dz as well as the remaining z’s in the integrand. 
 

(

)

1

z

z

du

dt

= −

+

e

 

 
Recall that, in most cases, we will also need to do a little manipulation of the differential prior to 
doing the substitution.  In this case we don’t need to do that. 
 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

( )

( )

1

4

cos

ln

4 cos

4 sin

z

z

z dz

u du

u

c

z

+

=

=

+

e

e

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

(

)

(

)

1

4

cos

ln

4 sin

ln

z

z

z

z dz

z

c

z

+

=

+

+

e

e

e

 

 

 
 

12. Evaluate 

( )

( )

1

2

tan

sec

v

v

dv

+

e

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

( )

1 tan

u

v

= +

 


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Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   
Because we need to make sure that all the v’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dv as well as the remaining v’s in the integrand. 
 

( )

2

sec

du

v dv

=

 

 
Recall that, in most cases, we will also need to do a little manipulation of the differential prior to 
doing the substitution.  In this case we don’t need to do that. 
 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( )

( )

1

2

tan

sec

v

u

u

v

dv

du

c

+

=

=

+

e

e

e

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( )

( )

( )

1

1

2

tan

tan

sec

v

v

v

dv

c

+

+

=

+

e

e

 

 

 
 

13. Evaluate 

( ) ( )

( )

2

10 sin 2

cos 2

cos

2

5

x

x

x

dx

.  

 
Hint : Recall that if there is a term in the integrand (or a portion of a term) with an “obvious” 
inside function then there is at least a chance that the “inside” function is the substitution that we 
need.  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

( )

2

cos

2

5

u

x

=

−  

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 


background image

Calculus I 

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Step 2   
Because we need to make sure that all the x’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dx as well as the remaining x’s in the integrand. 
 

( ) ( )

4 cos 2

sin 2

du

x

x dx

= −

 

 
To help with the substitution let’s do a little rewriting of this to get, 
 

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

5
5

5
2

4 cos 2

sin 2

2 2

cos 2

sin 2

10 cos 2

sin 2

du

x

x dx

x

x dx

x

x dx

du

= −

= −

= −

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( ) ( )

( )

3

1

2

2

2

5

5

2

3

10 sin 2

cos 2

cos

2

5

x

x

x

dx

u du

u

c

= −

= −

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( ) ( )

( )

( )

(

)

3

2

2

2

5
3

10 sin 2

cos 2

cos

2

5

cos

2

5

x

x

x

dx

x

c

= −

+

 

 

 
 

14. Evaluate 

( ) ( )

( )

csc

cot

2 csc

x

x

dx

x

.  

 
Hint : What is the derivative of the denominator?  
 
Step 1   
In this case it looks like we should use the following as our substitution. 
 

 

( )

2 csc

u

x

= −

 

 
Hint : Recall that after the substitution all the original variables in the integral should be replaced 
with u’s.  
 
Step 2   


background image

Calculus I 

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33 

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Because we need to make sure that all the x’s are replaced with u’s we need to compute the 
differential so we can eliminate the dx as well as the remaining x’s in the integrand. 
 

( ) ( )

csc

cot

du

x

x dx

=

 

 
Recall that, in most cases, we will also need to do a little manipulation of the differential prior to 
doing the substitution.  In this case we don’t need to do that. 
 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( ) ( )

( )

csc

cot

1

ln

2 csc

x

x

dx

du

u

c

x

u

=

=

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( ) ( )

( )

( )

csc

cot

ln 2 csc

2 csc

x

x

dx

x

c

x

=

+

 

 

 
 

15. Evaluate 

2

6

7

dy

y

+

.  

 
Hint : Be careful with this substitution.  The integrand should look somewhat familiar, so maybe 
we should try to put it into a more familiar form.  
 
Step 1   
The integrand looks an awful lot like the derivative of the inverse tangent. 
 

( )

(

)

1

2

1

tan

1

d

u

du

u

=

+

 

 
So, let’s do a little rewrite to make the integrand look more like this. 
 

(

)

2

2

2

1

1

7

7

6

6

6

1

7

7

1

7 1

dy

dy

dy

y

y

y

=

=

+

+

+

 

 


background image

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Hint : One more little rewrite of the integrand should make this look almost exactly like the 
derivative the inverse tangent and the substitution should then be fairly obvious. 
 
Step 2   
Let’s do one more rewrite of the integrand. 
 

( )

2

2

7

6

6

1

7

7

1

y

dy

dy

y

=

+

+

 

 
At this point we can see that the following substitution will work for us. 
 

1

7

7

7

y

u

du

dy

dy

du

=

=

=

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( )

( )

1

2

2

6

6

1

6

7

tan

7

7

1

7

dy

du

u

c

y

u

=

=

+

+

+

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( )

( )

1

2

2

7

6

6

1

6

7

tan

7

7

1

7

y

dy

du

c

y

u

=

=

+

+

+

 

 
Substitutions for inverse trig functions can be a little tricky to spot when you are first start doing 
them.  Once you do enough of them however they start to become a little easier to spot. 
 

 
 

16. Evaluate 

2

1

4 9

dw

w

.  

 
Hint : Be careful with this substitution.  The integrand should look somewhat familiar, so maybe 
we should try to put it into a more familiar form.  
 
Step 1   
The integrand looks an awful lot like the derivative of the inverse sine. 


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( )

(

)

1

2

1

sin

1

d

u

du

u

=

 

 
So, let’s do a little rewrite to make the integrand look more like this. 
 

(

)

2

2

2

9

9

4

4

1

1

1

1

2

4 9

1

4 1

dw

dw

dw

w

w

w

=

=

 

 
Hint : One more little rewrite of the integrand should make this look almost exactly like the 
derivative the inverse sine and the substitution should then be fairly obvious. 
 
Step 2   
Let’s do one more rewrite of the integrand. 
 

( )

2

2

3

2

1

1

1

2

4 9

1

w

dw

dw

w

=

 

 
At this point we can see that the following substitution will work for us. 
 

3

3

2

2

2

3

w

u

du

dw

dw

du

=

=

=

 

 
Step 3  
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( )

1

2

2

1

1 2

1

1

sin

2 3

3

4 9

1

dw

du

u

c

w

u

 

=

=

+

 

 

 

 
Hint : Don’t forget that the original variable in the integrand was not u!  
 
Step 4  
Finally, don’t forget to go back to the original variable! 
 

 

( )

1

3

2

2

1

1

sin

3

4 9

w

dw

c

w

=

+

 

 
Substitutions for inverse trig functions can be a little tricky to spot when you are first start doing 
them.  Once you do enough of them however they start to become a little easier to spot. 
 

 


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17. Evaluate each of the following integrals. 

      (a) 

2

3

1 9

x

dx

x

+

  

 

      (b) 

(

)

4

2

3

1 9

x

dx

x

+

  

 

      (c) 

2

3

1 9

dx

x

+

  

 
Hint : Make sure you pay attention to each of these and note the differences between each 
integrand and how that will affect the substitution and/or answer.  
 

(a) 

2

3

1 9

x

dx

x

+

   

 
Solution 
In this case it looks like the substitution should be 
 

2

1 9

u

x

= +

 

 
Here is the differential for this substitution. 

1
6

18

3

du

x dx

x dx

du

=

=

 

 
The integral is then, 

2

2

3

1

1

1

1

ln

ln 1 9

1 9

6

6

6

x

dx

du

u

c

x

c

x

u

=

=

+ =

+

+

+

 

 

(b) 

(

)

4

2

3

1 9

x

dx

x

+

   

 
Solution 
The substitution and differential work for this part are identical to the previous part. 

2

1
6

1 9

18

3

u

x

du

x dx

x dx

du

= +

=

=

 

 
Here is the integral for this part, 
 


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(

)

(

)

4

3

4

3

4

2

2

3

1

1

1

1

1

1

6

6

18

18

1 9

1 9

x

dx

du

u

du

u

c

c

u

x

x

=

=

= −

+ = −

+

+

+

 

 
Be careful to not just turn every integral of functions of the form of 1/(something) into 
logarithms! This is one of the more common mistakes that students often make. 
 

(c) 

2

3

1 9

dx

x

+

  

 
Solution 
Because we no longer have an x in the numerator this integral is very different from the previous 
two.  Let’s do a quick rewrite of the integrand to make the substitution clearer. 
 

( )

2

2

3

3

1 9

1

3

dx

dx

x

x

=

+

+

 

 
So, this looks like an inverse tangent problem that will need the substitution. 
 

3

3

u

x

du

dx

=

=

 

 

The integral is then, 
 

( )

( )

1

1

2

2

3

1

tan

tan

3

1 9

1

dx

du

u

c

x

c

x

u

=

=

+ =

+

+

+

 

 
 

 
 
 
 

 

More Substitution Rule 

  

1. Evaluate 

(

)

7

4 5 9

12 5 9

t

t

dt

+ +

+

.  

 
Hint : Each term seems to require the same substitution and recall that the same substitution can 
be used in multiple terms of an integral if we need to.   
 
Step 1   


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

38 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Don’t get too excited about the fact that there are two terms in this integrand.  Each term requires 
the same substitution,  

 

5 9

u

t

= +  

so we’ll simply use that in both terms. 
 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 2    
Here is the differential work for the substitution. 
 

1
9

9

du

dt

dt

du

=

=

 

 
Doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

( )

(

)

(

)

3

3

1

2

2

2

8

7

8

8

3

8

3

1

1

1

9

9

3

2

9

3

2

4

12

5 9

5 9

u

u

du

u

u

c

t

t

c

+

=

+

+ =

+

+

+

+

 

 

Be careful when dealing with the dt substitution here.  Make sure that the 

1
9

 gets multiplied times 

the whole integrand and not just one of the terms.  You can do this either by using parenthesis (as 

we’ve done here) or pulling the 

1
9

 completely out of the integral.  

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

2. Evaluate 

(

)

4

3

4

3 2

7

cos 2

8

x

x

x

x

dx

+

+

e

.  

 
Hint : Each term seems to require the same substitution and recall that the same substitution can 
be used in multiple terms of an integral if we need to.   
 
Step 1   
Don’t get too excited about the fact that there are two terms in this integrand.  Each term requires 
the same substitution, 

 

4

2

u

x

= +  

so we’ll simply use that in both terms. 
 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

39 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 2    
Here is the differential work for the substitution. 
 

3

3

1
4

4

du

x dx

x dx

du

=

=

 

 

Before doing the actual substitution it might be convenient to factor an 

3

x

 out of the integrand as 

follows. 
 

 

(

)

(

)

4

4

3

4

3 2

4

2

3

7

cos 2

8

7 cos 2

8

x

x

x

x

x

dx

x

x dx

+

+

+

=

+

e

e

 

 
Doing this should make the differential part (i.e.  the du part) of the substitution clearer.   
 
Now, doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

( )

( )

(

)

4

4

3

4

3 2

1
4

4

2

1

1

4

4

7

cos 2

8

7 cos

8

7 sin

8

7 sin 2

8

x

u

u

x

x

x

x

dx

u

du

u

c

x

c

+

+

+

=

=

+ =

+

+

e

e

e

e

 

 

Be careful when dealing with the dx substitution here.  Make sure that the 

1
4

 gets multiplied times 

the whole integrand and not just one of the terms.  You can do this either by using parenthesis 

around the whole integrand or pulling the 

1
4

 completely out of the integral (as we’ve done here).  

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

3. Evaluate 

(

)

7

7

3

7

7

6

14

1 8

1 8

w

w

w

w

dw

+

e

e

e

e

.  

 
Hint : Each term seems to require the same substitution and recall that the same substitution can 
be used in multiple terms of an integral if we need to.   
 
Step 1   
Don’t get too excited about the fact that there are two terms in this integrand.  Each term requires 
the same substitution, 

 

7

1 8

w

u

= −  


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

40 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

so we’ll simply use that in both terms. 
 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 2   
Here is the differential work for the substitution. 
 

7

7

1

56

56

w

w

du

dw

dw

du

= −

= −

e

e

 

 

Before doing the actual substitution it might be convenient to factor an 

7

w

e

 out of the integrand 

as follows. 
 

 

(

)

(

)

7

7

7

3

3

7

7

7

7

6

14

6

14

1 8

1 8

1 8

1 8

w

w

w

w

w

w

w

dw

dw

+

=

+

e

e

e

e

e

e

e

 

 
Doing this should make the differential part (i.e.  the du part) of the substitution clearer.   
 
Now, doing the substitution and evaluating the integral gives, 
 

(

)

(

)

(

)

(

)

7

7

3

2

1

1

56

56

3

7

7

2

7

7

1

56

6

14

14

6

3

14 ln

1 8

1 8

3 1 8

14 ln 1 8

w

w

w

w

w

w

dw

u

du

u

u

c

u

c

+

= −

+

= −

+

+

= −

+

+

e

e

e

e

e

e

 

 

Be careful when dealing with the dw substitution here.  Make sure that the 

1

56

 gets multiplied 

times the whole integrand and not just one of the terms.  You can do this either by using 

parenthesis around the whole integrand or pulling the 

1

56

 completely out of the integral (as 

we’ve done here).  
 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

4. Evaluate 

(

)

4

5

6

7

cos 2

3

x

x

x

dx

+

.  

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

41 

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Hint : Recall that terms that do not need substitutions should not be in the integral when the 
substitution is being done.  At this point we should know how to “break” integrals up so that we 
can get the terms that require a substitution into a one integral and those that don’t into another 
integral.   
 
Step 1   
Clearly the first term does not need a substitution while the second term does need a substitution.  
So, we’ll first need to split up the integral as follows. 
 

 

(

)

(

)

4

5

6

4

5

6

7

cos 2

3

7

cos 2

3

x

x

x

dx

x dx

x

x

dx

+

=

+

 

 
Step 2  
The substitution needed for the second integral is then, 

 

6

2

3

u

x

=

+  

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for the substitution. 
 

5

5

1

12

12

du

x dx

x dx

du

=

=

 

 
Now, doing the substitution and evaluating the integrals gives, 
 

(

)

( )

( )

(

)

4

5

6

4

5

7

7

1

12

5

12

5

6

7

1
5

12

7

cos 2

3

cos

sin

sin 2

3

x

x

x

dx

x dx

u du

x

u

c

x

x

c

+

=

=

+

=

+ +

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

5. Evaluate 

( )

( )

4 sin 8

1 9 cos 8

z

z

dz

z

+

+

e

.  

 
Hint : Recall that terms that do not need substitutions should not be in the integral when the 
substitution is being done.  At this point we should know how to “break” integrals up so that we 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

42 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

can get the terms that require a substitution into a one integral and those that don’t into another 
integral.   
 
Step 1   
Clearly the first term does not need a substitution while the second term does need a substitution.  
So, we’ll first need to split up the integral as follows. 
 

 

( )

( )

( )

( )

4 sin 8

4 sin 8

1 9 cos 8

1 9 cos 8

z

z

z

z

dz

dz

dz

z

z

+

=

+

+

+

e

e

 

 
Step 2  
The substitution needed for the second integral is then, 

 

( )

1 9 cos 8

u

z

= +

 

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for the substitution. 
 

( )

( )

1

72

72 sin 8

sin 8

du

z dz

z dz

du

= −

= −

 

 
Now, doing the substitution and evaluating the integrals gives, 
 

( )

( )

( )

1

18

4 sin 8

4

1

ln 1 9 cos 8

1 9 cos 8

72

z

z

z

z

dz

dz

du

z

c

z

u

+

=

=

+

+

+

e

e

e

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

6. Evaluate 

2 8

2 8

3

3

20

1

7

6

w

w

w

w dw

+

+

e

e

.  

 
Hint : Recall that terms that do not need substitutions should not be in the integral when the 
substitution is being done.  At this point we should know how to “break” integrals up so that we 
can get the terms that require a substitution into a one integral and those that don’t into another 
integral.   
 
Step 1   


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

43 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

Clearly the first term needs a substitution while the second and third terms don’t.  So, we’ll first 
need to split up the integral as follows. 
 

 

2 8

2 8

3

2 8

2 8

3

3

3

20

1

7

6

20

1

7

6

w

w

w

w

w

w dw

dw

w

w dw

+

+

=

+

+

e

e

e

e

 

 
Step 2  
The substitution needed for the first integral is then, 

 

2 8

1

w

u

= + e

 

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for the substitution. 
 

2 8

2 8

1
8

8

w

w

du

dw

dw

du

= −

= −

e

e

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

(

)

1

1

3

2

3

4

3

2

3

4

2

3

2 8

2 8

3

3

3

20

8

4

5

7

9

3

4

2

2 8

4

5

7

9

3

4

2

20

1

7

6

7

6

1

w

w

w

w

w dw

u du

w

w dw

u

w

w

c

w

w

c

+

+

= −

+

= −

+

+

= −

+

+

+

e

e

e

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

7. Evaluate 

(

)

3

2

4

4 7

9

5

3

t

t

t

dt

+

+

.  

 
Hint : You can only do one substitution per integral.  At this point we should know how to 
“break” integrals up so that we can get the terms that require different substitutions into different 
integrals.   
 
Step 1   
Clearly each term needs a separate substitution.  So, we’ll first need to split up the integral as 
follows. 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

44 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

(

)

(

)

3

3

2

2

4

4

4 7

9

5

3

4 7

9

5

3

t

t

t

dt

t

dt

t

t

dt

+

+

=

+

+

 

 
Step 2  
The substitutions needed for the each integral are then, 

 

2

4 7

5

3

u

t

v

t

= +

=

+  

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for each substitution. 
 

1

1

7

10

7

10

du

dt

dt

du

dv

t dt

t dt

dv

=

=

=

=

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

(

)

(

)

(

)

5

1

4

4

5

4

3

2

3

4

4

9

18

1

1

7

10

28

25

4

2

18

1

28

25

4 7

9

5

3

4 7

5

3

t

dt

t

t

dt

u du

v dv

u

v

c

t

t

c

+

+

=

=

+

=

+

+

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

8. Evaluate 

2

2

3

2

6

3

csc

9

8

2

x

x

x

dx

x

x

+

.  

 
Hint : You can only do one substitution per integral.  At this point we should know how to 
“break” integrals up so that we can get the terms that require different substitutions into different 
integrals.   
 
Step 1   
Clearly each term needs a separate substitution.  So, we’ll first need to split up the integral as 
follows. 
 

 

2

2

2

2

3

2

3

2

6

3

6

3

csc

csc

9

8

2

9

8

2

x

x

x

x

x

x

dx

dx

dx

x

x

x

x

=

+

+

 

 
Step 2  


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

45 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

The substitutions needed for the each integral are then, 

 

3

2

3

9

8

2

x

u

x

x

v

=

+

=

 

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for each substitution. 
 

(

)

(

)

(

)

2

2

2

1
3

3

2

2

3

3

18

3 6

6

du

x

x dx

x

x

dx

x

x

dx

du

dv

dx

dx

dv

=

= −

= −

=

=

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

( )

( )

( )

2

2

2

3

2

3

2

1

2

3

3

3

2

6

3

1

1

2

1

2

csc

csc

ln

cot

9

8

2

3

3

3

3

ln

9

8

cot

x

x

x

x

dx

du

v dv

u

v

c

x

x

u

x

x

c

= −

= −

+

+

+

= −

+ +

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

9. Evaluate 

(

)

(

)

(

)

3

2

7 3

2 4

3

sin 3 8

y

y

y

y dy

+

+

+

+

.  

 
Hint : You can only do one substitution per integral.  At this point we should know how to 
“break” integrals up so that we can get the terms that require different substitutions into different 
integrals.   
 
Step 1   
Clearly each term needs a separate substitution.  So, we’ll first need to split up the integral as 
follows. 
 

 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

3

3

2

2

7 3

2 4

3

sin 3 8

7 3

2 4

3

sin 3 8

y

y

y

y dy

y

y

y

dy

y dy

+

+

+

+

=

+

+

+

+

 

 
Step 2  
The substitutions needed for the each integral are then, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

46 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

2

4

3

3 8

u

y

y

v

y

=

+

= +

 

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 
 
Step 3   
Here is the differential work for each substitution. 
 

(

)

(

)

(

)

1
2

1
8

4 6

2 3

2

3

2

8

du

y dy

y

dy

y

dy

du

dv

dy

dy

dv

=

+

=

+

+

=

=

=

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

3

2

3

4

7

7

1

1

2

8

8

8

4

2

7

1

8

8

7 3

2 4

3

sin 3 8

sin

cos

4

3

cos 3 8

y

y

y

y dy

u du

v dv

u

v

c

y

y

y

c

+

+

+

+

=

+

=

+

=

+

+

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

10. Evaluate 

( )

( )

( )

2

2

sec

2

9 7 tan 2

tan

2

t

t

t

dt

+

.  

 
Hint : Don’t let this one fool you.  This is simply an integral that requires you to use the same 
substitution more than once.   
 
Step 1   
This integral can be a little daunting at first glance.  To do it all we need to notice is that the 

derivative of 

( )

tan x

 is 

( )

2

sec

x

 and we can notice that there is a 

( )

2

sec

2t

 times the remaining 

portion of the integrand and that portion only contains constants and tangents.   
  
So, it looks like the substitution is then, 

 

( )

tan 2

u

t

=

 

 
If you aren’t comfortable with the basic substitution mechanics you should work some problems 
in the previous section as we’ll not be putting in as much detail with regards to the basics in this 
section.  The problems in this section are intended for those that are fairly comfortable with the 
basic mechanics of substitutions and will involve some more “advanced” substitutions. 


background image

Calculus I 

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47 

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Step 2   
Here is the differential work for the substitution. 
 

( )

( )

2

2

1
2

2 sec

2

sec

2

du

t dt

t dt

du

=

=

 

 
Now, doing the substitution and evaluating the integrals gives, 
 

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

2

2

2

2

3

7

1

1

1

2

2

2

3

2

3

7

1

1

2

2

3

sec

2

9 7 tan 2

tan

2

9 7

9

9 tan 2

tan

2

tan

2

t

t

t

dt

u u du

u

u

u

c

t

t

t

c

+

=

+

=

+

+

=

+

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

11. Evaluate 

2

8

4

9

w

dw

w

+

.  

 
Hint : With the integrand written as it is here this problem can’t be done.  
 
Step 1   
As written we can’t do this problem.  In order to do this integral we’ll need to rewrite the integral 
as follows. 

 

2

2

2

8

8

4

9

4

9

4

9

w

w

dw

dw

dw

w

w

w

=

+

+

+

 

 
Step 2  
Now, the first integral looks like it might be an inverse tangent (although we’ll need to do a 
rewrite of that integral) and the second looks like it’s a logarithm (with a quick substitution). 
 
So, here is the rewrite on the first integral. 
 

 

2

2

2

4
9

8

8

1

4

9

9

1

4

9

w

w

dw

dw

dw

w

w

w

=

+

+

+

 

 
Step 3   
Now we’ll need a substitution for each integral.  Here are the substitutions we’ll need for each 
integral.   
  

 

(

)

2

2

2

2

4

3

9

so 4

9

u

w

u

w

v

w

=

=

=

+

 


background image

Calculus I 

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48 

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Step 4   
Here is the differential work for the substitution. 
 

3

2

1

3

2

8

8

du

dw

dw

du

dv

w dw

w dw

dv

=

=

=

=

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

( )

( )

1

4

1

3

8

2

2

1

2

4

2

1

3

3

8

8

8 3

1

1

1

tan

ln

4

9

9 2

1

8

tan

ln 4

9

w

dw

du

dv

u

v

c

w

u

v

w

w

c

 

=

=

+

 

+

+

 

=

+ +

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

12. Evaluate 

2

7

2

1 25

x

dx

x

+

.  

 
Hint : With the integrand written as it is here this problem can’t be done.  
 
Step 1   
As written we can’t do this problem.  In order to do this integral we’ll need to rewrite the integral 
as follows. 

 

2

2

2

7

2

7

2

1 25

1 25

1 25

x

x

dx

dx

dx

x

x

x

+

=

+

 

 
Step 2  
Now, the second integral looks like it might be an inverse sine (although we’ll need to do a 
rewrite of that integral) and the first looks like a simple substitution will work for us. 
 
So, here is the rewrite on the second integral. 
 

 

( )

2

2

2

7

2

7

1

2

1 25

1 25

1

5

x

x

dx

dx

dx

x

x

x

+

=

+

 

 
Step 3   
Now we’ll need a substitution for each integral.  Here are the substitutions we’ll need for each 
integral.   
  


background image

Calculus I 

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(

)

2

2

2

1 25

5

so 25

u

x

v

x

v

x

= −

=

=

 

 
Step 4   
Here is the differential work for the substitution. 
 

1

1

50

5

50

5

du

x dx

x dx

du

dv

dx

dx

dv

= −

= −

=

=

 

 
Now, doing the substitutions and evaluating the integrals gives, 
 

( )

(

)

( )

1

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

7

2

25

5

7

2

7

2

1

7

2

sin

50

5

25

5

1 25

1

1 25

sin

5

x

dx

u

du

dv

u

v

c

x

v

x

x

c

+

= −

+

= −

+

+

= −

+

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 

13. Evaluate 

(

)

8

7

4

8 3

z

z

dz

+

.  

 
Hint : Use the “obvious” substitution and don’t forget that the substitution can be used more than 
once and in different ways.  
 
Step 1   
Okay, the “obvious” substitution here is probably, 
 

 

4

3

3

1

12

8 3

12

u

z

du

z dz

z dz

du

= +

=

=

 

 

however, that doesn’t look like it might work because of the 

7

z

.  

 
Step 2  

Let’s do a quick rewrite of the integrand. 

 

 

(

)

(

)

(

)

8

8

8

7

4

4

3

4

4

4

3

8 3

8 3

8 3

z

z

dz

z z

z

dz

z

z

z dz

+

=

+

=

+

 

 
Step 3   

Now, notice that we can convert all of the z’s in the integrand except apparently for the 

4

z

 that is 

in the front.  However, notice from the substitution that we can solve for 

4

z

 to get, 

 

(

)

4

1
3

8

z

u

=

−  

  


background image

Calculus I 

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50 

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Step 4   
With this we can now do the substitution and evaluate the integral. 
 

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8

7

4

8

9

8

10

9

8

1

1

1

1

1

12

3

36

36

10

9

10

9

4

4

8

1

1

36

10

9

8 3

8

8

8 3

8 3

z

z

dz

u

u du

u

u du

u

u

c

z

z

c

+

=

=

=

+

=

+

+

+

 

 
Do not forget to go back to the original variable after evaluating the integral! 
 

 
 
 
 

 

Area Problem 

 

1. Estimate the area of the region between 

( )

3

2

2

4

f x

x

x

=

+

 the x-axis on 

[ ]

1, 4

 using 

6

n

=

 

and using, 
 

(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,  

 

(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and, 

 

(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles. 

  
(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,   
 
The widths of each of the subintervals for this problem are, 
 

 

4 1

1

6

2

x

∆ =

=

 

 
We don’t need to actually graph the function to do this problem.  It would probably help to have a 
number line showing subintervals however.  Here is that number line. 
 

 

 
In this case we’re going to be using right end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

51 

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( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3

5

7

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

57

179

683

1

1

1

1

1

1

2

8

2

2

8

2

2

8

2

16

Area

2

3

4

4

13

36

42.6875

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

 

 
(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and,   
 

As we found in the previous part the widths of each of the subintervals are  

1
2

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 
In this case we’re going to be using left end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

3

5

7

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

23

57

179

419

1

1

1

1

1

1

2

2

8

2

2

8

2

2

8

16

Area

1

2

3

3

4

13

26.1875

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

 

 
(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles.   
 

As we found in the first part the widths of each of the subintervals are  

1
2

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 
In this case we’re going to be using midpoints of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5

7

9

13

15

1

1

1

1

11

1

1

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

181

207

337

619

1101

1831

1069

1

1

1

1

1

1

2

64

2

64

2

64

2

64

2

64

2

64

32

Area

33.40625

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

=

 

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

52 

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2. Estimate the area of the region between 

( )

2

4

2

g x

x

= −

+

 the x-axis on 

[

]

1, 3

 using 

6

n

=

 and using, 

 

(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,  

 

(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and, 

 

(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles. 

  
(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,   
 
The widths of each of the subintervals for this problem are, 
 

 

( )

3

1

2

6

3

x

− −

∆ =

=  

 
We don’t need to actually graph the function to do this problem.  It would probably help to have a 
number line showing subintervals however.  Here is that number line. 
 

 

 
In this case we’re going to be using right end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

)

5

7

2

1

2

1

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

19

19

43

67

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Area

1

3

4

4

4

3

4

4

4

11

7.420752

f

f

f

f

f

f

− +

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

 

 
(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and,   
 

As we found in the previous part the widths of each of the subintervals are  

2
3

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 


background image

Calculus I 

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53 

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In this case we’re going to be using left end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

5

7

2

2

1

2

1

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

19

19

43

67

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Area

1

1

4

3

4

4

4

3

4

4

8.477135

f

f

f

f

f

f

− +

− +

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

 

 
(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles.   
 

As we found in the first part the widths of each of the subintervals are  

2
3

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 
In this case we’re going to be using midpoints of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

8

2

2

2

2

2

2

4

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

34

82

22

22

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

Area

0

2

4

4

2

4

4

4

6

4

8.031494

f

f

f

f

f

f

− +

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

=

 

 

 
 

3. Estimate the area of the region between 

( )

( )

3

cos

x

h x

x

= −

 the x-axis on 

[ ]

0, 3

 using 

6

n

=

 

and using, 
 

(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,  

 

(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and, 

 

(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles. 

  
(a) the right end points of the subintervals for the height of the rectangles,   
 
The widths of each of the subintervals for this problem are, 
 


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Calculus I 

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54 

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3 0

1

6

2

x

∆ =

=

 

 
We don’t need to actually graph the function to do this problem.  It would probably help to have a 
number line showing subintervals however.  Here is that number line. 
 

 

 
In this case we’re going to be using right end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

3

5

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

6

2

3

2

2

2

2

3

5

5

1

1

2

2

6

2

Area

1

2

3

cos

cos

cos

2 cos

cos

3cos 1

3.814057

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

= −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

= −

 

 
Do not get excited about the negative area here.  As we discussed in this section this just means 
that the graph, in this case, is below the x-axis as you could verify if you’d like to. 
 
(b) the left end points of the subintervals for the height of the rectangles and,   
 

As we found in the previous part the widths of each of the subintervals are  

2
3

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 
In this case we’re going to be using left end points of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 


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( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

3

5

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

6

2

3

2

2

2

2

3

5

5

1
2

2

6

Area

0

1

2

0

cos

cos

cos

2 cos

cos

3.003604

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

= +

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

= −

 

 
Do not get excited about the negative area here.  As we discussed in this section this just means 
that the graph, in this case, is below the x-axis as you could verify if you’d like to. 
 
(c) the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles.   
 

As we found in the first part the widths of each of the subintervals are  

2
3

x

∆ =

 
Here is a copy of the number line showing the subintervals to help with the problem. 
 

 

 
In this case we’re going to be using midpoints of each of these subintervals to determine the 
height of each of the rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

3

5

7

9

1

1

1

1

1

1

1

11

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

3

5

5

7

7

1

1

1

1

1

1

1

2

4

12

2

4

4

2

4

12

2

4

12

9

3

1

1

11

11

2

4

4

2

4

12

Area

cos

cos

cos

cos

cos

cos

3.449532

f

f

f

f

f

f

+

+

+

+

+

= −

+ −

+ −

+ −

+ −

+ −

= −

 

 
Do not get excited about the negative area here.  As we discussed in this section this just means 
that the graph, in this case, is below the x-axis as you could verify if you’d like to. 
 

 
 

4. Estimate the net area between 

( )

2

5

8

12

f x

x

x

=

− −

 and the x-axis on 

[

]

2, 2

 using 

8

n

=

 

and the midpoints of the subintervals for the height of the rectangles.  Without looking at a graph 
of the function on the interval does it appear that more of the area is above or below the x-axis? 
  
Step 1  


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First let’s estimate the area between the function and the x-axis on the interval.  The widths of 
each of the subintervals for this problem are, 
 

 

( )

2

2

1

8

2

x

− −

∆ =

=  

 
We don’t need to actually graph the function to do this problem.  It would probably help to have a 
number line showing subintervals however.  Here is that number line. 
 

 

 
Now, we’ll be using midpoints of each of these subintervals to determine the height of each of the 
rectangles.   
 
The area between the function and the x-axis is then approximately, 
 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

7

5

3

3

5

7

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

2

4

Area

6

f

f

f

f

f

f

f

f

− +

− +

− +

− +

+

+

+

= −

 

 
We’ll leave it to you to check all the function evaluations.  They get a little messy, but after all 
the arithmetic is done we get a net area of -6. 
 
Step 2  
Now, as we (hopefully) recall from the discussion in this section area above the x-axis is positive 
and area below the x-axis is negative.  In this case we have estimated that the net area is -6 and 
so, assuming that our estimate is accurate, it looks like we should have more area is below the x-
axis as above it. 
 
Graph  
For reference purposes here is the graph of the function with the area shaded in and as we can see 
it does appear that there is slightly more area below as above the x-axis. 
 


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The Definition of the Definite Integral 

 
1. Use the definition of the definite integral to evaluate the integral.  Use the right end point of 

each interval for 

*

i

x

4

1

2

3

x

dx

+

 

  
Step 1  
The width of each subinterval will be, 

 

4 1

3

x

n

n

∆ =

=

 

 

The subintervals for the interval 

[ ]

1, 4

 are then, 

 

 

( )

(

)

3

1

3

1

3

3

6

6

9

3

1,1

, 1

,1

, 1

,1

,

, , 1

,1

,

, , 1

, 4

i

n

i

n

n

n

n

n

n

n

n

 

 

+

+

+

+

+

+

+

+

 

 

 

 

 

 

From this it looks like the right end point, and hence 

*

i

x

, of the general subinterval is, 

 

*

3

1

i

i

x

n

= +

 

 
Step 2  
The summation in the definition of the definite integral is then, 


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( )

*

2

1

1

1

3

3

15

18

2 1

3

n

n

n

i

i

i

i

i

i

f x

x

n

n

n

n

=

=

=

 

∆ =

+

+

=

+

  

 

 

 
Step 3  
Now we need to use the formulas from the 

Summation Notation

 section in the Extras chapter to 

“evaluate” the summation. 
 

 

( )

( )

(

)

*

2

2

1

1

1

1

1

2

15

18

1

18

15

1

1

18

9

9

15

15

2

n

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

f x

x

i

n

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

=

=

=

=

=

∆ =

+

=

+

+

+

=

+

=

+

 

 
Step 4  
Finally, we can use the definition of the definite integral to determine the value of the integral. 

 

( )

4

*

1

1

9

9

9

2

3

lim

lim 15

lim 24

24

n

i

n

n

n

i

n

x

dx

f x

x

n

n

→∞

→∞

→∞

=

+

+

=

∆ =

+

=

+

=

 

 

 
 
2. Use the definition of the definite integral to evaluate the integral.  Use the right end point of 

each interval for 

*

i

x

(

)

1

0

6

1

x x

dx

 

  
Step 1  
The width of each subinterval will be, 

 

1 0

1

x

n

n

∆ =

=

 

 

The subintervals for the interval 

[ ]

0,1

 are then, 

 

 

1

1 2

2 3

1

1

0,

,

,

,

,

,

, ,

,

,

, ,

,1

i

i

n

n

n n

n n

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

From this it looks like the right end point, and hence 

*

i

x

, of the general subinterval is, 

 

*

i

i

x

n

=

 

 
Step 2  


background image

Calculus I 

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The summation in the definition of the definite integral is then, 
 

 

( )

2

*

3

2

1

1

1

6

1

6

6

1

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

f x

x

n

n

n

n

n

=

=

=

 

  

∆ =

=

 

  

 

  

 

 
Step 3  
Now we need to use the formulas from the 

Summation Notation

 section in the Extras chapter to 

“evaluate” the summation. 
 

 

( )

(

)(

)

(

)

2

*

2

3

2

3

2

1

1

1

1

1

2

3

2

2

6

6

6

6

1 2

1

1

6

6

2

3

1

3

3

6

2

n

n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

f x

x

i

i

n

n

n

n

n n

n

n n

n

n

n

n

n

n

n

=

=

=

=

=

 

∆ =

=

 

 

+

+

+

+

+

+

=

=

 

 
Step 4  
Finally, we can use the definition of the definite integral to determine the value of the integral. 

 

(

)

( )

2

1

*

2

0

1

2

3

1

3

3

6

1

lim

lim

2 3

1

n

i

n

n

i

n

n

n

x x

dx

f x

x

n

n

→∞

→∞

=

+

+

+

=

∆ =

= − = −

 

 

 
 

3. Evaluate : 

(

)

4

3

2

4

4

cos

1

x

x

dx

x

+

+

e

 

 
Solution   

There really isn’t much to this problem other than use 

Property 2

 from the notes on this 

section. 

 

 

(

)

4

3

2

4

4

cos

0

1

x

x

dx

x

+

=

+

e

 

 

 
 

4. Determine the value of 

( )

6

11

f x dx

 given that 

( )

11

6

7

f x dx

= −

.  

 
Solution   

There really isn’t much to this problem other than use the 

properties

 from the notes of 

this section until we get the given interval at which point we use the given value. 

 


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( )

( )

( )

( )

6

6

11

11

11

6

9

9

Property 3

9

Property 1

9

7

63

f x dx

f x dx

f x dx

=

= −

= − − =

 

 

 
 

5. Determine the value of 

( )

( )

11

6

6

10

g x

f x dx

 given that 

( )

11

6

7

f x dx

= −

 and  

( )

11

6

24

g x dx

=

 
Solution   

There really isn’t much to this problem other than use the 

properties

 from the notes of 

this section until we get the given intervals at which point we use the given values. 

 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

11

11

11

6

6

6

11

11

6

6

6

10

6

10

Property 4

6

10

Property 3

6 24

10

7

214

g x

f x dx

g x dx

f x dx

g x dx

f x dx

=

=

=

− =

 

 

 
 

6. Determine the value of 

( )

9

2

f x dx

 given that 

( )

2

5

3

f x dx

=

 and 

( )

9

5

8

f x dx

=

 
 
Step 1  

First we need to use 

Property 5

 from the notes of this section to break up the integral into 

two integrals that use the same limits as the integrals given in the problem statement.   
 
Note that we won’t worry about whether the limits are in correct place at this point. 

 

 

( )

( )

( )

9

5

9

2

2

5

f x dx

f x dx

f x dx

=

+

 

 
Step 2  
Finally, all we need to do is use 

Property 1

 from the notes of this section to interchange the limits 

on the first integral so they match up with the limits on the given integral.  We can then use the 
given values to determine the value of the integral. 
 


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( )

( )

( )

( )

9

2

9

2

5

5

3

8

5

f x dx

f x dx

f x dx

= −

+

= −

+ =

 

 

 
 

7. Determine the value of 

( )

20

4

f x dx

 given that 

( )

0

4

2

f x dx

= −

( )

0

31

19

f x dx

=

 and 

( )

31

20

21

f x dx

= −

 
 
Step 1  

First we need to use 

Property 5

 from the notes of this section to break up the integral into 

three integrals that use the same limits as the integrals given in the problem statement.   
 
Note that we won’t worry about whether the limits are in correct place at this point. 

 

 

( )

( )

( )

( )

20

0

31

20

4

4

0

31

f x dx

f x dx

f x dx

f x dx

=

+

+

 

 
Step 2  
Finally, all we need to do is use 

Property 1

 from the notes of this section to interchange the limits 

on the second and third integrals so they match up with the limits on the given integral.  We can 
then use the given values to determine the value of the integral. 
 

 

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

20

0

0

31

4

4

31

20

2

19

21

0

f x dx

f x dx

f x dx

f x dx

=

= − −

− −

=

 

 

 
 

8. For 

4

1

3

2

x

dx

 sketch the graph of the integrand and use the area interpretation of the 

definite integral to determine the value of the integral. 
 
 
Step 1  

Here is the graph of the integrand, 

( )

3

2

f x

x

=

, on the interval 

[ ]

1, 4

 


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62 

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Step 2  
Now, we know that the integral is simply the area between the line and the x-axis and so we 
should be able to use basic area formulas to help us determine the value of the integral.  Here is a 
“modified” graph that will help with this. 
 

 

 
From this sketch we can see that we can think of this area as a rectangle with width 3 and height 1 
and a triangle with base 3 and height 9.  The value of the integral will then be the sum of the areas 
of the rectangle and the triangle. 
 
Here is the value of the integral, 
 

 

( )( ) ( )( )

4

33

1
2

2

1

3

2

3 1

3 9

x

dx

=

+

=

 

 

 
 


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9. For 

5

0

4x dx

 sketch the graph of the integrand and use the area interpretation of the definite 

integral to determine the value of the integral. 
 
 
Step 1  

Here is the graph of the integrand, 

( )

4

f x

x

= −

 on the interval 

[ ]

0, 5

 

 

 
Step 2  
Now, we know that the integral is simply the area between the line and the x-axis and so we 
should be able to use basic area formulas to help us determine the value of the integral.   
 
In this case we can see the area is clearly a triangle with base 5 and height 20.  However, we need 
to be a little careful here and recall that area that is below the x-axis is considered to be negative 
area and so we’ll need to keep that in mind when we do the area computation. 
 
Here is the value of the integral, 
 

 

( )( )

5

1
2

0

4

5 20

50

x dx

= −

= −

 

 

 
 
10. Differentiate the following integral with respect to x
 

(

)

2

2

4

9 cos

6

1

x

t

t

dt

− +

 

 
Solution  
This is nothing more than a quick application of the Fundamental Theorem of Calculus, Part I. 


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The derivative is, 

 

(

)

(

)

2

2

2

2

4

9 cos

6

1

9 cos

6

1

x

d

t

t

dt

x

x

dx

− +

=

+

 

 

 
 
11. Differentiate the following integral with respect to x
 

( )

sin 6

2

7

4

x

t

dt

+

 

 
Solution  
This is nothing more than a quick application of the Fundamental Theorem of Calculus, Part I.   
 
Note however, that because the upper limit is not just x we’ll need to use the Chain Rule, with the 

“inner function” as 

( )

sin 6x

 
The derivative is, 

 

( )

( )

( )

sin 6

2

2

7

4

6 cos 6

sin

6

4

x

d

t

dt

x

x

dx

+

=

+

 

 

 
 
12. Differentiate the following integral with respect to x
 

2

1

3

1

t

x

dt

t

e

 

 
Solution  
This is nothing more than a quick application of the Fundamental Theorem of Calculus, Part I.   
 
Note however, that we’ll need to interchange the limits to get the lower limit to a number and the 
x’s in the upper limit as required by the theorem.  Also, note that because the upper limit is not 

just x we’ll need to use the Chain Rule, with the “inner function” as 

2

3x

 
The derivative is, 

 

( )

2

2

2

2

1

2

1

3

3

3

3

1

1

1

2 2

6

3

x

t

t

x

x

x

d

d

dt

dt

x

dx

t

dx

t

x

x

=

= −

=

e

e

e

e

 

 

 


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Computing Definite Integrals 

 
1. Evaluate each of the following integrals.  

 

a. 

( )

5

3

cos x

dx

x

  

 

b. 

( )

4

5

3

3

cos x

dx

x

  

 

c. 

( )

4

5

1

3

cos x

dx

x

  

  
 

a. 

( )

5

3

cos x

dx

x

   

This is just an indefinite integral and by this point we should be comfortable doing them so here 
is the answer to this part. 
 

 

( )

( )

( )

( )

5

4

3
4

5

4

3

3

cos

cos

3

sin

sin

4

x

dx

x

x dx

x

x

c

x

c

x

x

=

=

+

+ =

+

+

 

 
Don’t forget to add on the “+c” since we are doing an indefinite integral! 
 

b. 

( )

4

5

3

3

cos x

dx

x

   

Recall that in order to do a definite integral the integrand (i.e. the function we are integrating) 

must be continuous on the interval over which we are integrating,  

[

]

3, 4

 in this case. 

 

We can clearly see that the second term will have division by zero at 

0

x

=

 and 

0

x

=

 is in the 

interval over which we are integrating and so this function is not continuous on the interval over 
which we are integrating. 
 
Therefore, this integral cannot be done. 
 

c. 

( )

4

5

1

3

cos x

dx

x

  


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Now, the function still has a division by zero problem in the second term at 

0

x

=

.  However, 

unlike the previous part 

0

x

=

 does not fall in the interval over which we are integrating, 

[ ]

1, 4

 in 

this case.   
 
This integral can therefore be done.  Here is the work for this integral. 
 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4

4

4

5

5

4

1

1

1

4

4

3

3

cos

cos

3

sin

4

3

3

sin 4

sin 1

4 4

4 1

3

3

765

sin 4

sin 1

sin 4

sin 1

1024

4

1024

x

dx

x

x dx

x

x

x

=

=

+

=

+

=

+

=

 

 

 

 
 
2. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

6

3

2

1

12

9

2

x

x

dx

+

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

(

)

6

6

3

2

4

3

1

1

12

9

2

3

3

2

x

x

dx

x

x

x

+

=

+

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 


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Calculus I 

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6

3

2

1

12

9

2

3252 2

3250

x

x

dx

+

=

− =

 

 

 
 
3. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

1

2

2

5

7

3

z

z

dz

+

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

(

)

1

1

2

3

2

5

7

3

2

2

2

5

7

3

3

z

z

dz

z

z

z

+

=

+

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

(

)

1

2

7

100

69

6

3

2

2

5

7

3

z

z

dz

+

= − −

=

 

 

 
 
4. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

0

4

2

3

15

13

w

w

w dw

+

 

  
Step 1  
First, do not get excited about the fact that the lower limit of integration is a larger number than 
the upper limit of integration.  The problem works in exactly the same way. 
 


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So, we need to integrate the function. 
 

 

(

)

0

0

4

2

5

2

2

13

1

3

2

3

3

15

13

3

w

w

w dw

w

w

w

+

=

+

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

0

4

2

1233

1233

2

2

3

15

13

0

w

w

w dw

+

= −

= −

 

 

 
 
5. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

4

3

1

8

12 t dt

t

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

(

)

3

5

1

1

2

2

2

2

4

4

4

3

24

5

1

1

1

8

12

8

12

16

t dt

t

t dt

t

t

t

=

=

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 


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69 

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Here is the answer for this problem. 
 

4

3

608

56

664

5

5

5

1

8

12 t dt

t

= −

− = −

 

 

 
 
6. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

2

3

2

3

1

1

1

7

4

2

z

dz

z

z

+

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

(

)

5

2

3

3

2

2

3

2

2

3

2

3

1

1

7

20

4

3

1

1

1

1

1

1 1

1

1

ln

7

4

2

7

4

2

z

dz

z

z dz

z

z

z

z

z

z

+

=

+

=

+

+

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

5

5

3

3

2

3

2

3

3

27

1

1

1

2

1

7

20

16

7

5

7

20

80

3

1

1

1

ln 2

2

ln 1

ln 2

2

7

4

2

z

dz

z

z

+

=

+

+

+

=

+

 

 

Don’t forget that 

( )

ln 1

0

=

!  Also, don’t get excited about “messy” answers like this.  They 

happen on occasion.  
 

 
 


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70 

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7. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

4

6

4

2

2

1

x

x

dx

x

+

 

 
Solution  
 

In this case note that the third term will have division by zero at 

0

x

=

 and this is in the interval 

we are integrating over, 

[

]

2, 4

 and hence is not continuous on this interval. 

 
Therefore, this integral cannot be done. 
 

 
 
8. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

(

)

1

2

4

3 4

x

x dx

 

  
Step 1  
In this case we’ll first need to multiply out the integrand before we actually do the integration.  
Doing that integrating the function gives,  
 

 

(

)

(

)

1

1

1

2

2

3

3

4

4

4

4

3 4

3

4

x

x dx

x

x dx

x

x

=

=

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

(

)

(

)

1

2

4

3 4

2

320

318

x

x dx

= − − −

=

 

 


background image

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71 

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9. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

1

3

2

2

2

2

6

y

y

dy

y

 

  
Step 1  
In this case we’ll first need to simplify the integrand to remove the quotient before we actually do 
the integration.  Doing that integrating the function gives,  
 

 

(

)

1

3

2

1

1

2

2

2

2

2

2

6

2

6

6

y

y

dy

y

dy

y

y

y

=

=

 

 
Do not get excited about the fact that the lower limit of integration is larger than the upper limit 
of integration.  This will happen on occasion and the integral works in exactly the same manner 
as we’ve been doing them. 
 
Also, recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in 
the next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

( )

1

3

2

2

2

2

6

5

8

3

y

y

dy

y

= − − − =

 

 

 
 
10. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

( )

( )

2

0

7 sin

2 cos

t

t dt

π

 

  


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72 

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Step 1  
First we need to integrate the function.  
 

 

( )

( )

( )

( )

(

)

2

2

0

0

7 sin

2 cos

7 cos

2 sin

t

t dt

t

t

π

π

= −

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

( )

( )

( )

2

0

7 sin

2 cos

2

7

5

t

t dt

π

= − − − =

 

 

 
 
11. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

( ) ( )

0

sec

tan

1

z

z

dz

π

 

 
Solution  
 
Be careful with this integral.  Recall that, 
 

( )

( )

( )

( )

( )

sin

1

sec

tan

cos

cos

z

z

z

z

z

=

=

 

 

Also recall that 

( )

2

cos

0

π

=

 and that 

2

x

π

=

 is in the interval we are integrating over, 

[ ]

0,

π

 and 

hence is not continuous on this interval. 
 
Therefore, this integral cannot be done. 
 


background image

Calculus I 

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73 

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It is often easy to overlook these kinds of division by zero problems in integrands when the 
integrand is not explicitly written as a rational expression.  So, be careful and don’t forget that 
division by zero can sometimes be “hidden” in the integrand! 
 

 
 
12. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

( )

( ) ( )

3

6

2

2 sec

8 csc

cot

w

w

w dw

π

π

 

  
Step 1  
First notice that even though we do have some “hidden” rational expression here (in the 
definitions of the trig functions) neither cosine nor sine is zero in the interval we are integrating 
over and so both terms are continuous over the interval. 
 
Therefore all we need to do integrate the function.  
 

 

( )

( ) ( )

( )

( )

(

)

3

3

6

6

2

2 sec

8 csc

cot

2 tan

8 csc

w

w

w dw

w

w

π

π

π

π

=

+

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

( )

( ) ( )

(

)

(

)

3

6

2

16

2

14

3

3

3

2 sec

8 csc

cot

2 3

16

2 3 16

w

w

w dw

π

π

=

+

+

=

+

 

 

 
 
13. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 


background image

Calculus I 

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74 

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2

2

0

1

1

x

dx

x

+

+

e

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

( )

(

)

2

2

1

2

0

0

1

tan

1

x

x

dx

x

x

+

=

+

+

e

e

 

 
Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

( )

(

)

( )

(

)

( )

2

2

1

0

1

2

1

2

0

1

tan

2

tan

0

tan

2

1

1

x

dx

x

+

=

+

+

=

+

+

e

e

e

e

 

 

Note that 

( )

1

tan

0

0

=

  but 

( )

1

tan

2

 doesn’t have a “nice” answer and so was left as is. 

 

 
 
14. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

2

5

2

7

y

dy

y

+

e

 

  
Step 1  
First we need to integrate the function. 
 

 

(

)

2

2

5

5

2

7

7

2 ln

y

y

dy

y

y

+

=

+

e

e

 

 


background image

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75 

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Recall that we don’t need to add the “+c” in the definite integral case as it will just cancel in the 
next step. 
 
Step 2  
The final step is then just to do the evaluation.   
 
We’ll leave the basic arithmetic to you to verify and only show the results of the evaluation.  
Make sure that you evaluate the upper limit first and then subtract off the evaluation at the lower 
limit. 
 
Here is the answer for this problem. 
 

(

) (

) (

)

( )

( )

(

)

2

2

5

2

5

5

2

7

7

2 ln 2

7

2 ln 5

7

2 ln 2

ln 5

y

dy

y

+

=

+

− −

+

=

+

e

e

e

e

e

 

 

 
 
15. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

( )

4

0

f t dt

 where 

( )

2

2

1

1 3

1

t

t

f t

t

t

>

= 

   

 
Hint : Recall that integrals we can always “break up” an integral as follows, 
 

( )

( )

( )

b

c

b

a

a

c

f x dx

f x dx

f x dx

=

+

 

 
See if you can find a good choice for “c” that will make this integral doable.  
 
Step 1  

This integral can’t be done as a single integral give the obvious change of the function at 

1

t

=

 

which is in the interval over which we are integrating.  However, recall that we can always break 

up an integral at any point and 

1

t

=

 seems to be a good point to do this. 

 

Breaking up the integral at 

1

t

=

 gives, 

 

( )

( )

( )

4

1

4

0

0

1

f t dt

f t dt

f t dt

=

+

 

 


background image

Calculus I 

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So, in the first integral we have 

0

1

t

≤ ≤

 and so we can use 

( )

2

1 3

f t

t

= −

 in the first integral.  

Likewise, in the second integral we have 

1

4

t

≤ ≤

 and so we can use 

( )

2

f t

t

=

 in the second 

integral. 
 
Making these function substitutions gives,  
 

 

( )

4

1

4

2

0

0

1

1 3

2

f t dt

t dt

t dt

=

+

 

 
Step 2  
All we need to do at this point is evaluate each integral.  Here is that work.  
 

( )

(

)

[

] [

]

1

4

1

4

4

2

3

2

1

0

0

1

0

1 3

2

0 0

16 1

15

f t dt

t dt

t dt

t

t

t

=

+

= −

+

= − +

− =

 

 

 
 
16. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

( )

1

6

g z dz

 where 

( )

2

2

4

2

z

z

z

g z

z

> −

= 

≤ −

 e

   

 
Hint : Recall that integrals we can always “break up” an integral as follows, 
 

( )

( )

( )

b

c

b

a

a

c

f x dx

f x dx

f x dx

=

+

 

 
See if you can find a good choice for “c” that will make this integral doable.  
 
Step 1  

This integral can’t be done as a single integral give the obvious change of the function at 

2

z

= −

 

which is in the interval over which we are integrating.  However, recall that we can always break 

up an integral at any point and 

2

z

= −

 seems to be a good point to do this. 

 

Breaking up the integral at 

2

z

= −

 gives, 

 

( )

( )

( )

1

2

1

6

6

2

g z dz

g z dz

g z dz

=

+

 

 


background image

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So, in the first integral we have 

6

2

z

− ≤ ≤ −

 and so we can use 

( )

4

z

g z

e

 in the first integral.  

Likewise, in the second integral we have 

2

1

z

− ≤ ≤

 and so we can use 

( )

2

g z

z

= −

 in the 

second integral. 
 
Making these function substitutions gives,  
 

 

( )

1

2

1

6

6

2

4

2

z

g z dz

dz

z dz

=

+

e

 

 
Step 2  
All we need to do at this point is evaluate each integral.  Here is that work.  
 

( )

( ) (

)

( )

2

1

1

2

1

2

1
2

6

6

2

6

2

2

6

2

6

3

15

2

2

4

2

4

2

4

4

6

4

4

z

z

g z dz

dz

z dz

z

z

=

+

=

+

=

+

− −

=

+

e

e

e

e

e

e

 

 

 
 
17. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

6

3

2

10

x

dx

 

 
Hint : In order to do this integral we need to “remove” the absolute value bars from the integrand 
and we should know how to do that by this point.  
 
Step 1  
We’ll need to “remove” the absolute value bars in order to do this integral.  However, in order to 

do that we’ll need to know where 

2

10

x

 is positive and negative.   

 

Since 

2

10

x

 is the equation of a line is should be fairly clear that we have the following 

positive/negative nature of the function. 

 

5

2

10

0

5

2

10

0

x

x

x

x

<

<

>

>

 

  
 
Step 2  

So, to remove the absolute value bars all we need to do then is break the integral up at 

5

x

=

 

6

5

6

3

3

5

2

10

2

10

2

10

x

dx

x

dx

x

dx

=

+

 


background image

Calculus I 

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78 

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So, in the first integral we have 

3

5

x

≤ ≤

 and so we have 

(

)

2

10

2

10

x

x

= −

 in the first 

integral.  Likewise, in the second integral we have 

5

6

x

≤ ≤

 and so we have 

2

10

2

10

x

x

=

 

in the second integral.  Or, 
 

 

(

)

6

5

6

3

3

5

2

10

2

10

2

10

x

dx

x

dx

x

dx

= −

+

 

 
Step 3  
All we need to do at this point is evaluate each integral.  Here is that work.  
 

(

) (

)

[

]

(

)

5

6

6

5

6

2

2

3

3

5

3

5

2

10

2

10

2

10

10

10

25 21

24

25

5

x

dx

x

dx

x

dx

x

x

x

x

= − +

+

= − +

+

=

+ − − −

=

 

 

 
 
18. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

0

1

4

3

w

dw

+

 

 
Hint : In order to do this integral we need to “remove” the absolute value bars from the integrand 
and we should know how to do that by this point.  
 
Step 1  
We’ll need to “remove” the absolute value bars in order to do this integral.  However, in order to 

do that we’ll need to know where 

4

3

w

+

 is positive and negative.   

 

Since 

4

3

w

+

 is the equation a line is should be fairly clear that we have the following 

positive/negative nature of the function. 

 

3
4

3
4

4

3

0

4

3

0

w

w

w

w

< −

+ <

> −

+ >

 

  
 
Step 2  

So, to remove the absolute value bars all we need to do then is break the integral up at 

3
4

w

= −

 

3

4

3

4

0

0

1

1

4

3

4

3

4

3

w

dw

w

dw

w

dw

+

=

+

+

+

 


background image

Calculus I 

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79 

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So, in the first integral we have 

3
4

w

− ≤ ≤ −

 and so we have 

(

)

4

3

4

3

w

w

+ = −

+

 in the first 

integral.  Likewise, in the second integral we have 

3
4

0

w

− ≤ ≤

 and so we have 

4

3

4

3

w

w

+ =

+

 in the second integral.  Or, 

 

 

(

)

3

4

3

4

0

0

1

1

4

3

4

3

4

3

w

dw

w

dw

w

dw

+

=

+

+

+

 

 
Step 3  
All we need to do at this point is evaluate each integral.  Here is that work.  
 

(

) (

)

( )

3

3

4

4

3

3

4

4

0

0

0

2

2

1

1

1

9

9

5

8

8

4

4

3

4

3

4

3

2

3

2

3

1

0

w

dw

w

dw

w

dw

w

w

w

w

+

=

+

+

= −

+

+

= − +

− −

=

 

 

 

 
 
 
 

 

Substitution Rule for Definite Integrals 

 
1. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

(

)(

)

1

6

4

2

5

0

3 4

10

2

x

x

x

x

dx

+

+

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
The substitution for this problem is, 

2

5

10

2

u

x

x

=

+

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this problem. 
 


background image

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80 

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(

)

(

)

(

)

4

4

4

1
5

20

5

5 4

4

0 :

2

1:

9

du

x

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

du

x

u

x

u

=

+

=

+

+

=

=

= −

=

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

(

)(

)

1

9

6

4

2

5

6

3
5

0

2

3 4

10

2

x

x

x

x

dx

u du

+

+

=

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

(

)(

)

(

)

(

)

1

6

9

4

2

5

7

14,349,291

3

3

35

35

35

2

0

3 4

10

2

4, 782, 969

128

x

x

x

x

dx

u

+

+

=

=

− −

=

 

 
Do not get excited about “messy” or “large” answers.  They will happen on occasion so don’t 
worry about them when the happen. 
 

 
 
2. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

4

0

8 cos 2

9 5sin 2

t

dt

t

π

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
The substitution for this problem is, 

( )

9 5sin 2

u

t

= −

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this problem. 
 


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© 2007 Paul Dawkins 

81 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

 

( )

( )

1

10

4

10 cos 2

cos 2

0 :

9

:

4

du

t dt

t dt

du

t

u

t

u

π

= −

= −

=

=

=

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

( )

( )

1
2

4

4

8

10

9

0

8 cos 2

9 5sin 2

t

dt

u

du

t

π

= −

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

( )

( )

( )

1
2

4

4

8

16

8

24

5

5

5

5

9

0

8 cos 2

9 5sin 2

t

dt

u

t

π

= −

= − − −

=

 

 

 
 
3. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

0

3

sin

cos

z

z dz

π

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
The substitution for this problem is, 

( )

cos

u

z

=

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this problem. 
 

 

( )

( )

sin

sin

:

1

0 :

1

du

z dz

z dz

du

z

u

z

u

π

= −

= −

=

= −

=

=

 

 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

82 

http://tutorial.math.lamar.edu/terms.aspx 

 

As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

( )

( )

0

1

3

3

1

sin

cos

z

z dz

u du

π

= −

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

( )

( )

( )

0

1

3

4

1

1

1

4

4

4

1

sin

cos

0

z

z dz

u

π

= −

= − − − =

 

 

 
 
4. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

3

4

1

1

w

w

dw

e

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
The substitution for this problem is, 

3

2

1

u

w

= −

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this problem. 
 

 

1

2

3

2

2

3

1:

0

4 :

7

du

w dw

w dw

du

w

u

w

u

= −

= −

=

=

=

= −

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 


background image

Calculus I 

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83 

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3

4

7

1

2
3

1

0

w

u

w

dw

du

= −

e

e

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

(

) (

)

3

4

7

1

7

0

7

2

2

2

2

3

3

3

3

0

1

1

w

u

w

dw

= −

= −

− −

=

e

e

e

e

e

 

 

 
 
5. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

1

3

4

7

5 2

5 2

y

dy

y

+

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
The substitution for this problem is, 

5 2

u

y

= −

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this problem. 
 

 

1
2

2

4 :

13

1:

7

du

dy

dy

du

y

u

y

u

= −

= −

= −

=

= −

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

1
3

1

7

1

3

2

13

4

7

7

5 2

5 2

y

dy

u

du

y

u

+

= −

+

 

 
Step 3  
The integral is then, 


background image

Calculus I 

© 2007 Paul Dawkins 

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(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

4
3

4

4

3

3

4

4

3

3

1

7

3

1

3

2

4

13

4

3

7

3

7

8

2

8

2

3

7

8

2

7

5 2

7 ln

5 2

7

ln 7

13

ln 13

13

7

ln 13

ln 7

y

dy

u

u

y

+

= −

+

= −

− −

=

+

 

 

 
 
6. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

1

4

2

3

1

x

x

dx

+

e

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
Before setting up the substitution we’ll need to break up the integral because the first term doesn’t 
need a substitution.  Doing this gives, 
 

 

1

1

4

4

2

2

2

3

3

1

1

1

x

x

x

dx

x dx

dx

+

=

+

e

e

 

 
The substitution for the second integral is then, 
 

1
4

u

x

=

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this second integral. 
 

 

1
4

1

1

4

2

4

1:

2 :

du

dx

dx

du

x

u

x

u

=

=

= −

= −

=

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 


background image

Calculus I 

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85 

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1

1

2

4

1

4

2

2

3

3

1

1

4

x

u

x

dx

x dx

du

+

=

+

e

e

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

(

)

(

)

1
2

1
4

1

1

1

1

1

4

2

4

2

4

2

2

3

4

15

1

1

4

4

4

1

1

4

4

4

4

4

4

x

u

x

dx

x

+

=

+

=

− +

=

+

e

e

e

e

e

e

 

 

 
 
7. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

( )

( )

3

2

6 sin 2

7 cos

w

w dw

π

π

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
Before setting up the substitution we’ll need to break up the integral because the second term 
doesn’t need a substitution.  Doing this gives, 
 

 

( )

( )

( )

( )

3

3

3

2

2

2

6 sin 2

7 cos

6 sin 2

7 cos

w

w dw

w dw

w dw

π

π

π

π

π

π

=

 

 
The substitution for the first integral is then, 
 

2

u

w

=

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this first integral. 
 

 

1
2

3

2

2

:

2

:

3

du

dw

dw

du

w

u

w

u

π

π

π

π

=

=

=

=

=

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 


background image

Calculus I 

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86 

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( )

( )

( )

( )

3

3

2

2

2

3

6 sin 2

7 cos

3

sin

7 cos

w

w dw

u du

w dw

π

π

π

π

π

π

=

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

(

)

3

3

2

2

3

2

6 sin 2

7 cos

3cos

7 sin

3

3

7 0

13

w

w dw

u

w

π

π

π

π

π

π

= −

= − −

+ −

=

 

 

 
 
8. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

5

3

4

2

2

1

2

1

4

x

x

x

dx

x

x

x

+

+

+

 

  
Solution   
 
Be very careful with this problem.  Recall that we can only do definite integrals if the integrand 
(i.e. the function we are integrating) is continuous on the interval over which we are integrating. 
 

In this case the second term has division by zero at 

2

x

=

 and so is not continuous on 

[ ]

1, 5

 and 

therefore this integral can’t be done.  
 

 
 
9. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

(

)

0

2

2

2

3

3

6

1

t

t

dt

t

+ +

 

  
Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
Before setting up the substitution we’ll need to break up the integral because each term requires a 
different substitution.  Doing this gives, 
 


background image

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(

)

(

)

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

6

1

6

1

t

t

dt

t

t dt

dt

t

t

+ +

=

+

+

 

 
The substitution for the each integral is then, 
 

2

3

6

1

u

t

v

t

= +

= −

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this first integral. 
 

 

1
2

2

2 :

7

0 :

3

du

t dt

t dt

du

t

u

t

u

=

=

= −

=

=

=

 

 
Here is the actual substitution work for the second integral. 
 

 

1
6

6

2 :

13

0 :

1

du

dt

dt

du

t

u

t

u

=

=

= −

= −

=

= −

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

(

)

1
2

0

3

1

2

2

3

1
2

6

2

7

13

2

3

3

6

1

t

t

dt

u du

v dv

t

+ +

=

+

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

0

3

1

2

1

6

1

1

1

1

1

1

3

2

3

2

13

3

13

2

13

7

2

3

3

3

7

1

3

7

6

1

t

t

dt

u

v

t

+ +

=

=

− − − −

=

+

 

 

 
 
10. Evaluate the following integral, if possible.  If it is not possible clearly explain why it is not 
possible to evaluate the integral. 
 

 

(

)

( )

( )

1

3

3

2

2

sin

3 2 cos

z

z

z

dz

π

π

+

+

 

  


background image

Calculus I 

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Step 1  
The first step that we need to do is do the substitution.   
 
At this point you should be fairly comfortable with substitutions.  If you are not comfortable with 
substitutions you should go back to the substitution sections and work some problems there.   
 
Before setting up the substitution we’ll need to break up the integral because each term requires a 
different substitution.  Doing this gives, 
 

 

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

1

1

1

3

3

3

3

2

2

2

2

sin

3 2 cos

2

sin

3 2 cos

z

z

z

dz

z

dz

z

z

dz

π

π

π

π

+

+

=

+

+

 

 
The substitution for the each integral is then, 
 

( )

2

3 2 cos

u

z

v

z

π

= −

= +

 

 
Step 2  
Here is the actual substitution work for this first integral. 
 

 

2 :

4

1:

1

du

dz

dz

du

z

u

z

u

= −

= −

= −

=

=

=

 

 
Here is the actual substitution work for the second integral. 
 

 

( )

( )

1

2

2 sin

sin

2 :

5

1:

1

du

z dz

z dz

du

z

u

z

u

π

π

π

π

= −

= −

= −

=

=

=

 

 
As we did in the notes for this section we are also going to convert the limits to u’s to avoid 
having to deal with the back substitution after doing the integral. 
 
Here is the integral after the substitution. 
 

 

(

)

( )

( )

1

1

1

3

3

3

3

1

2

2

4

5

2

sin

3 2 cos

z

z

z

dz

u du

v dv

π

π

π

+

+

= −

 

 
Step 3  
The integral is then, 
 

(

)

( )

( )

(

)

(

)

1

1

1

3

3

4

4

1

1

4

8

4

5

2

255

78

1

1

4

8

4

2

sin

3 2 cos

1 256

1 625

z

z

z

dz

u

v

π

π

π

π

π

+

+

= −

= −

=

+

 

 


background image

Calculus I 

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