ﻦــﻣ ﺔـﻴﺋﺰـﳉﺍ ﺔـﻴﻠﺿﺎﻔﺘﻟﺍ ﺕﻻﺩﺎـﻌﳌﺍ ﻝﻮـﻠﺣ ﻖـﺋﺍﺮﻃ ﺾﻌﺑ
ﻦــﻣ ﺔـﻴﺋﺰـﳉﺍ ﺔـﻴﻠﺿﺎﻔﺘﻟﺍ ﺕﻻﺩﺎـﻌﳌﺍ ﻝﻮـﻠﺣ ﻖـﺋﺍﺮﻃ ﺾﻌﺑ
ﻦــﻣ ﺔـﻴﺋﺰـﳉﺍ ﺔـﻴﻠﺿﺎﻔﺘﻟﺍ ﺕﻻﺩﺎـﻌﳌﺍ ﻝﻮـﻠﺣ ﻖـﺋﺍﺮﻃ ﺾﻌﺑ
ﻦــﻣ ﺔـﻴﺋﺰـﳉﺍ ﺔـﻴﻠﺿﺎﻔﺘﻟﺍ ﺕﻻﺩﺎـﻌﳌﺍ ﻝﻮـﻠﺣ ﻖـﺋﺍﺮﻃ ﺾﻌﺑ
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻻﻭﱃ
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻻﻭﱃ
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻻﻭﱃ
ﺍﻟﺮﺗﺒﺔ ﺍﻻﻭﱃ
P.D.E.
First Order
ﻤﻘدﻤﺔ
:
ﺘﻜﺘب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ اﻝﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ اﻝﺠزﺌﻴﺔ ﻤن اﻝرﺘﺒﺔ اﻻوﻝﻰ ﻓﻲ اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻤﺘﻤد
z
واﻝﻤﺘﻐﻴرﻴن
اﻝﻤﺴﺘﻐﻠﻴن
y,x
ﻋﻠﻰ اﻝﻨﺤو اﻻﺘﻲ
:
F(x,y,x,z
x
z
y
)=0
or
0
)
,
,
,
,
(
=
∂
∂
∂
∂
y
z
x
z
z
y
x
F
………(1)
واذا ﻓرﻀﻨﺎ ان
x
z
P
y
z
q
∂
∂
=
∂
∂
=
,
ﻓﺎن
)
١
(
ﺘﺼﺒﺢ ﻜﺎﻻﺘﻲ
:
F(x,y,z,P,Q)=0
……….(2)
ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻﻛﺮﺍﻧﺞ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﳉﺰﺋﻴﺔ
P.D.E.
Lagrange's
ﺔــﻴﺌزﺠﻝا تﺎﻘﺘﺸــﻤﻝا ﻲــﻓ لــﻗﻻا ﻰــﻠﻋ ﺔــﻴطﺨ ﻰــﻝوﻻا ﺔــﺒﺘرﻝا نــﻤ ﺔــﻴﺌزﺠ ﺔﻴﻠــﻀﺎﻔﺘ ﺔــﻝدﺎﻌﻤ ﻲــﻫ
وﻝﻴس ﺒﺎﻝﻀرورة ﺨطﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻤﻌﺘﻤد
.
وﺘﻜﺘب ﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻻﻜراﻨﺞ اﻝﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ اﻝﺠزﺌﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﺼورة اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ
:
P(x,y,z)z
x
+Q(x,y,z)z
y
=R(x,y,z)
……….(3)
ثــــﻴﺤ
R(x,y,z), Q(x,y,z), P(x,y,z)
راتــــﻴﻐﺘﻤﻝا ﻲــــﻓ لاود
z,y,x
ﺔــــﻠﺒﺎﻗو ةرﻤﺘﺴــــﻤو
ﻝﻠﺘﻔﺎﻀل ﻓﻲ ﻓﺘرة ﻤﻌﻴﻨﺔ
.
ﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻻﻜراﻨﺞ
⇒
ﻝﺘﻜن
u(x,y,z)
و
a
ﺜﺎﺒت
x
z
z
u
x
y
y
u
x
x
x
u
dx
du
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
⇒
0=
z
u
p
x
u
∂
∂
+
∂
∂
……….(1)
y
z
z
u
y
y
y
u
y
x
x
u
dy
du
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
⇒
0=
z
u
q
y
u
∂
∂
+
∂
∂
……….(2)
ﺒﺎﺴﺘﺨراج ﻗﻴم ﻜل ﻤن
q,p
ﻤن اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن
)
١
(
و
)
٢
(
ﻋﻠﻰ اﻝﺘواﻝﻲ ﻴﻜون
:
z
u
y
u
q
z
u
x
u
P
∂
∂
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
−
=
,
Pp+Qq=R
ﺘﻌوض ﻋن ﻜل ﻤن
q,p
ﻓﻲ ﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻻﻜراﻨﺞ ﻓﻴﻜون
:
R
z
u
y
u
Q
z
u
x
u
P
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
ـﺒﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ﺒ
z
u
∂
∂
−
ﻴﻜون
:
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
R
y
u
Q
x
u
p
……….(3)
Θ
u(x,y,z)=a
∴
ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﻗﺎﻋدة اﻝﺴﻠﺴﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
⇐
du=
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
……….(4)
وﺒﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ
)
٣
(
ـﺒ
α
ﺤﻴث
(
)
0
≠
α
ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ان
:
( )
( )
( )
0
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
u
R
y
u
Q
x
u
P
α
α
α
……….(5)
ﺒﻤﻘﺎرﻨﺔ اﻝﻤﻌﺎدﻝﺘﻴن
)
٤
(
ﻤﻊ
)
٥
(
ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
⇐
α
P=dx
,
α
Q=dy
,
α
R=dz
R
dz
Q
dy
P
dx
=
=
=
α
α
α
,
,
وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻤﻌﺎدﻝﺘﻲ ﻻﻜراﻨﺞ اﻝﻤﺴﺎﻋدة او اﻝﺘﺎﺒﻌﺘﻴن
:
⇒
ﻠﻴﺘـﻀﺎﻔﺘ نﻴﺘﻝدﺎـﻌﻤ ﻰـﻝا ﺔﻴﻠـﺼﻻا ﺔـﻴﺌزﺠﻝا ﺔﻴﻠـﻀﺎﻔﺘﻝا ﺔـﻝدﺎﻌﻤﻝا لـﻴوﺤﺘﻝ نﻴﺘﻝدﺎـﻌﻤﻝا نﻴﺘﺎﻫ مدﺨﺘﺴﺘو
ﻴن
اﻋﺘﻴﺎدﻴﺘﻴن وﻤﻨﻬﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ اﻝﺤل اﻝﻌﺎم
.
ﺗﺘﻠﺨﺺ ﻃﺮﻳﻘﺔ ﺣﻞ ﻣﻌﺎﺩﻟﺔ ﻻﻛﺮﺍﻧﺞ ﺍﻟﺘﻔﺎﺿﻠﻴﺔ ﺍﳉﺰﺋﻴﺔ ﺑﺎﳋﻄﻮﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ
١
-
ﺔــــــﻴﻠﻜﻝا ﺔﻴﻠــــــﻀﺎﻔﺘﻝا ﺔــــــﻝدﺎﻌﻤﻝا بــــــﺘﻜﻨ
R
dz
Q
dy
P
dx
=
=
ﺔــــــﻴﺌزﺠﻝا ﺔﻴﻠــــــﻀﺎﻔﺘﻝا ﺔــــــﻝدﺎﻌﻤﻝا نــــــﻤ
Pz
x
+Qz
y
=R
٢
-
ﺔـﻴﻠﻜﻝا ﺔﻴﻠﻀﺎﻔﺘﻝا تﻻدﺎﻌﻤﻝا نﻤ نﻴﻠﻘﺘﺴﻤ نﻴﻠﺤ دﺠﻨ
)
ﺎـﻌﻤﻝا
ﺴﺎﻋدةـﻤﻝا تﻻد
(
ذانـﻫ نﻜﻴـﻝو
ﺎـــﻤﻫ نﻴـــﻠﺤﻝا
u=u(x,y,z)=a
و
v=v(x,y,z)=b
ثـــﻴﺤ
b,a
ﺔـــﻴرﺎﻴﺘﺨا تـــﺒاوﺜ
.
ﺴﻤﻰـــﺘو
ﺴطﺤﻴنـﻝا ﻊطﺎـﻘﺘ نـﻤ ﺞﺘـﻨﺘ ﻲـﺘﻝا ﺔـﻴﺌﺎﻨﺜﻝا تﺎﻴﻨﺤﻨﻤﻝا
u=a
،
v=b
ﺎتـﻴﻨﺤﻨﻤﻝﺎﺒ
)
وطـطﺨﻝا
(
اﻝﻤﻤﻴزة ﻝﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻝﻤﺴﺎﻋدة
.
٣
-
ﻴﻜون اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻝﻤﻌﺎدﻝﺔ ﻻﻜراﻨﺞ اﻝﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ اﻝﺠزﺌﻴﺔ ﺒﺎﻝﺼور
ة اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ
:
v=
φ
(u)
اوv=
φ
(v)
⇒
φ
(u
1
v)=0
ﺤﻴث
φ
داﻝﺔ اﺨﺘﻴﺎرﻴﺔ
.
أﻤﺜﻠﺔ
:
اوﺠد اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻝﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻝﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ اﻝﺠزﺌﻴﺔ اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ
:
R
dz
Q
dy
P
dx
=
=
1-
2
2
2
z
y
z
y
x
z
x
=
∂
∂
+
∂
∂
sol. Pp + Qq =R
⇒
p=
y
z
q
x
z
∂
∂
=
∂
∂
,
⇒
P=x
2
, Qq=y
2
, R=z
2
⇒
2
2
2
z
dz
y
dy
x
dx
R
dz
Q
dy
P
dx
=
=
⇒
=
⇒
c
y
x
y
dy
x
dx
+
−
=
−
⇒
=
1
1
2
2
⇒
a
y
x
z
y
x
u
c
y
x
=
+
−
=
⇒
=
+
−
1
1
)
,
,
(
1
1
⇒
k
z
x
k
z
x
z
dz
x
dx
=
+
−
⇒
+
−
=
−
⇒
=
1
1
1
1
2
2
⇒
b
z
x
z
y
x
v
=
+
−
=
1
1
)
,
,
(
Θ
u=
φ
(v) or v=
φ
(u)
⇒
)
1
1
(
1
1
z
x
y
x
+
−
=
+
−
φ
or
⇒
)
1
1
(
1
1
y
x
z
x
+
−
=
+
−
φ
∴
اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻫو
⇐
0
)
1
1
,
1
1
(
)
,
(
=
+
−
+
−
=
z
x
y
x
v
u
φ
φ
2- x(y-z)
)
(
)
(
y
x
z
y
z
x
z
y
x
z
−
=
∂
∂
−
+
∂
∂
ﻋﻨد اﻝﻤﻘﺎرﻨﺔ ﻤﻊ
Pp+Qq=R
ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ
⇐
)
(
)
(
)
(
y
x
z
dz
x
z
y
dy
z
y
x
dx
−
=
−
+
−
……….(*)
)
(
)
(
)
(
y
x
z
dz
x
z
y
z
y
x
dy
dx
−
=
−
+
−
+
ﻨﺠﻤﻊ اﻝﻤﻘدﻤﺎت ﻤﻊ اﻝﺘواﻝﻲ ﺤﺴب ﻗواﻨﻴن اﻝﻨﺴب واﻝﺘﻨﺎﺴب
⇒
)
(
y
x
z
dz
yx
yz
xz
xy
dy
dx
−
=
−
+
−
+
⇒
dz
dy
dx
y
x
z
dz
y
x
z
dy
dx
=
+
−
⇒
−
=
−
−
+
)
(
)
(
)
(
⇒
dx+dy+dz=0
⇒
x+y+z=a
⇒
u(x,y,z)=x+y+z=a
واﻻن ﻨﺠد
v
وذﻝك ﺒﻀرب اﻝﻤﻌﺎدﻻت
(*)
ـﺒ
xyz
بالتكامل
بالطرفين
عامل مشترك
تكامل
)
(
)
(
)
(
y
x
z
dz
x
z
y
dy
z
y
x
dx
−
=
−
=
−
*xyz
⇒
y
x
xydz
x
z
xzdy
z
y
yzdx
−
=
−
=
−
⇒
0
=
−
+
−
+
−
+
+
y
x
x
z
z
y
xydz
xzdy
yzdx
Θ
اﻝﻤﻘﺎم ﻴﺴﺎوي ﺼﻔر ﻝذا ﺘﺼﺒﺢ اﻝﻜﻤﻴﺔ ﻏﻴر ﻤﻌرﻓﺔ وﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻨﺠﻌ
ل اﻝﺒﺴط ﻴﺴﺎوي ﺼﻔر
⇒
yzdx+xzdy+xydz=0
⇒
d(xyz)=0
⇒
d(x(yz))=xd(yz)+yzdx
= x[ydz+zdy]+yzdx
⇒
xyz=b
⇒
v(x,y,z)=xyz=b
∴
φ
(x+y+z, xyz)=0
اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻫو
3-
x
z
y
z
y
x
z
=
∂
∂
−
∂
∂
sol.
z
dz
y
dy
x
dx
=
−
=
⇒
c
y
x
y
dy
x
dx
+
−
=
⇒
−
=
ln
ln
⇒
lnx+lny=c
⇒
ln xy=c
⇒
xy=e
c
⇒
u(x,y,z)=xy=e
c
=a
⇒
1
ln
ln
c
z
y
z
dz
y
dy
+
=
−
⇒
=
−
⇒
-lny-lnz=c
1
⇒
lny+lnz=-c
1
⇒
lnyz=-c
1
⇒
yz=e
-c
1
=b
⇒
v(x,y,z)=yz=b
⇒
φ
(xy,yz)=0
اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻫو
ﺘﻤﺎرﻴن
:
اوﺠد اﻝﺤل اﻝﻌﺎم ﻝﻠﻤﻌﺎدﻻت اﻝﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ اﻝﺠزﺌﻴﺔ اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ
:
1-
(y
3
x-2
x4
)
)
(
)
2
(
3
3
3
4
y
x
z
y
z
y
x
y
x
z
−
=
∂
∂
−
+
∂
∂
2-
(y+z)p+(x+z)q=x+y
3-
2xz
xx
-yz
xy
+2x+2z
x
=0
4-
(y-z)z
x
+(x-y)z
y
=(z-x)
5-
(x
2
-y
2
-z
2
)z
x
+2xyz
y
=2xz
