كتاب احصاء

 

 

حماضرات اإلحصاء الرياضي

 

 
 

لطلبة كلية العلوم االقتصادية

 

 
 
 

بوعبد اهلل صاحل

 

 
 
 
 
 

5002

-

5002

 

 
 
 
 
 

 

- 1 - 

فهرس

 

المحتويات

 

 

فهرس المحتويات

 

................................

................................

................................

............

 

-

 

1

 

-

 

مق

دمة

 

................................

................................

...................

 -

 

1

 

-

 

نبذة تاريخية عن تطور علم االحصاء

 

................................

................................

....................

 

-

 

2

 

-

 

تعريف علم اإلحصاء

 

................................

................................

................................

........

 

-

 

4

 

-

 

  الفصل

I

.

 

تذكري باملفاهيم األساسية لالحتماالت

 

................................

......

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

مفاهيم أساسية

 

................................

................................

.............................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

  الحدث واالحتمال،ةبرجتلا موهفم

Epreuve, événement, probabilité

 

..........

 

-

 

1

 

-

 

2

 

خصائص اإلحتمال

 

................................

................................

................

 

-

 

2

 

-

 

3

 

األركان الخمسة في حساب االحتماالت

 

................................

........................

 

-

 

2

 

-

 

4

 

القاعدة السادسة أو حساب االحتمال حسب تعريف باسكال لالحتمال

 

......................

 

-

 

2

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

3

 

-

 

 المبحث

2

.

 

ال

ترميز أو التعبير الرياضي عن االحتماالت

 

................................

........................

 

-

 

4

 

-

 

1

 

استخدام نظرية المجموعات للتعبير عن األحداث العشوائية

 

................................

 

-

 

4

 

-

 

2

 

التعبير الرياضي عن ق

واعد حساب االحتماالت

 

................................

...............

 

-

 

5

 

-

 

3

 

 نظرية االحتمال السببي أو نظرية بايز

Théorème ou règle de BAYES

 

.......

 

-

 

8

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

9

 

-

 

5

 

ملحق

 

................................

................................

...............................

 

-

 

11

 

-

 

  الفصل

II

.

 

املتغرية العشوائية

 

................................

.......................

 -

 

1

 

-

 

 املبحث

1

.

 

مفهوم المتغيرة العشوا

ئية المتقطعة وتوزيعها االحتمالي

................................

...........

 

-

 

1

 

-

 

1

 

مفهوم المتغيرة العشوائية

 

................................

................................

.........

 

-

 

1

 

-

 

2

 

المتغيرة العشوائية المتقطعة

 

................................

................................

......

 

-

 

2

 

-

 

3

 

التوزيع االحتمالي للمتغيرة المتقطعة

................................

............................

 

-

 

2

 

-

 

4

 

شروط دالة الكثافة للمتغيرة المتقطعة

 

................................

...........................

 

-

 

2

 

-

 

5

 

التمثيل البياني لدالة الكثافة االحتمالية ل م ع المتقطعة

 

................................

.......

 

-

 

2

 

-

 

6

 

 دالة التوزيع

F(x)

 

للمتغيرة العشوائية المتقطعة

................................

...............

 

-

 

3

 

-

 

 المبحث

2

.

 

مفهوم المتغيرة العشوائية المستمرة وتوزيعها االحتمالي

 

................................

..........

 

-

 

5

 

-

 

1

 

تعريف المتغيرة العشوائية المستمرة

 

................................

............................

 

-

 

5

 

-

 

2

 

التوزيع االحتمالي المس

تمر

 

................................

................................

.......

 

-

 

5

 

-

 

3

 

خصائص دالة الكثافة االحتمالية للمتغيرة العشوائية المستمرة

 

..............................

 

-

 

5

 

-

 

4

 

 دالة التوزيع

F(x)

 

للمتغيرة العشوائية المستمرة

 

................................

..............

 

-

 

6

 

-

 

5

 

 قاعدة اليبنيز

Règle de LEIBNITZ

 

................................

......................

 

-

 

7

 

-

 

6

 

خالصة المبحث األول و الثاني

 

................................

................................

..

 

-

 

7

 

-

 

  الفصل

III

.

 

التوقع الرياضي والتباين

 

................................

.................

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

 التوقع الرياضي

Espérance mathématique

 

................................

.................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

تعريف التوقع

 

................................

................................

.......................

 

-

 

1

 

-

 

2

 

توقع دالة

 

................................

................................

.............................

 

-

 

2

 

-

 

3

 

خصائص التوقع الرياضي

 

................................

................................

........

 

-

 

3

 

-

 

 المبحث

2

.

 

التب

 اين واالنحراف المعياري

Variance et écart type

 

................................

.......

 

-

 

3

 

-

 

1

 

تعريف التباين

 

................................

................................

.......................

 

-

 

3

 

-

 

2

 

خصائص التباين

 

................................

................................

...................

 

-

 

4

 

-

 

3

 

 المتغيرة المعيارية

Variable centrée réduite

 

................................

..........

 

-

 

5

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

5

 

-

 

 المبحث

3

.

 

العزوم و الدالة المت

جددة للعزوم

 

................................

................................

.......

 

-

 

7

 

-

 

 

- 2 - 

1

 

 العزوم

Les moments

 

................................

................................

.........

 

-

 

7

 

-

 

2

 

 الدالة المتجددة للعزوم

(t)

x

La fonction génératrice des moments M

 

.......

 

-

 

8

 

-

 

3

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

9

 

-

 

 المبحث

4

.

 

نظرية شيبيشيف ونظرية األعداد الكبيرة

 

................................

............................

 

-

 

9

 

-

 

1

 

متراج

 حة شيبيشيف

Inégalité de Bienaymé CHEBYCHEV

 

..................

 

-

 

9

 

-

 

2

 

 نظرية األعداد الكبيرة

Théorème des grands nombres

 

.........................

 

-

 

11

 

-

 

3

 

خالصة

 

................................

................................

............................

 

-

 

11

 

-

 

الفصل

  IV.

 

التوزيعات االحتمالية األكثر استخداما

 

................................

...

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

التوزيعات الحتمالية المتقطعة األكثر استخداما

 

................................

.....................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

:التوزيع الهندسي الزائد

Distribution hyper géométrique

 

........................

 

-

 

1

 

-

 

2

 

:التوزيع الهندسي الزائد المتعدد

Distribution Multi-hypergéométrique

 

......

 

-

 

2

 

-

 

3

 

  توزيع برنولي

Distribution de Bernoulli

 

................................

............

 

-

 

2

 

-

 

4

 

 التوزيع الثنائي

Distribution binomiale

 

................................

.................

 

-

 

3

 

-

 

5

 

 )التوزيع الثنائي السالب (باسكال

Distribution binomiale négative

 

............

 

-

 

4

 

-

 

6

 

  التوزيع الهندسي

Distribution géométrique

 

................................

.........

 

-

 

5

 

-

 

7

 

التوزيع المتعدد

 Distribution multinomiale

 

................................

...........

 

-

 

6

 

-

 

8

 

 توزيع بواسون

Distribution de Poisson

 

................................

...............

 

-

 

7

 

-

 

9

 

خالصة

 

................................

................................

............................

 

-

 

11

 

-

 

 المبحث

2

.

 

التوزيعات االحتمالية الشائعة المستمرة

 

................................

.............................

 

-

 

12

 

-

 

1

 

 التوزيع الطبيعي أو توزيع البالس قوس

D. Normale ou D. de Laplace -

Gausse

 

-

 

12

 

-

 

2

 

  التوزيع األسي

Distribution exponentielle

 

................................

........

 

-

 

15

 

-

 

3

 

 توزيع قاما

Distribution  gamma

 

................................

.......................

 

-

 

17

 

-

 

4

 

 توزيع بيتا

Distribution bêta

 

................................

..............................

 

-

 

18

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

............................

 

-

 

21

 

-

 

  الفصل

V

.

 

املتغريات العشوائية متعددة األبع

اد

 

................................

.......

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

المتغيرة الثنائية

 

................................

................................

...........................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

  )التوزيعات المشتركة المتقطعة والدالة الهامشية (الحدية

Fonction marginale

 

..

 

-

 

1

 

-

 

2

 

التوزيعات المشتركة المتصلة

 

................................

................................

....

 

-

 

3

 

-

 

3

 

 التوزيع الشرطي

Distribution conditionnelle

 

................................

.......

 

-

 

5

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

5

 

-

 

 المبحث

2

.

 

االستقالل التباين واالرتباط

 

................................

................................

.............

 

-

 

5

 

-

 

1

 

تعريف استقالل متغيرتين

 

................................

................................

.........

 

-

 

6

 

-

 

2

 

توقع وتباين المتغيرة العشوائية متعددة األبعاد

 

................................

.................

 

-

 

6

 

-

 

3

 

 التباين المشترك

Covariance

 

................................

................................

. 

-

 

7

 

-

 

4

 

معامل االرتباط

 

................................

................................

.....................

 

-

 

8

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

9

 

-

 

  الفصل

VI

.

 

دوال املتغريات العشوائية والتقارب

 

................................

.......

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

  ك:ةيطخلا ريغ لاودلا

2

 

فيشر وستيودنت،

 

................................

........................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

توزيع ك

2

    

Distribution en Khi-carré (ou Khi-deux)

 

.......................

 

-

 

1

 

-

 

2

 

توزيع ستيودنت

Distribution de Student

 

................................

...............

 

-

 

3

 

-

 

3

 

( توزيع فيشر

F

)

 

Snédecor

-

Distribution F de Fisher

 

............................

 

-

 

4

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

5

 

-

 

 المبحث

2

.

 

السلوك التقاربي لبعض التوزيعات االحتمالية

 

................................

.......................

 

-

 

5

 

-

 

1

 

التقارب بين التوزيع الثنائي والتوزيع الطبيعي

 

................................

................

 

-

 

6

 

-

 

2

 

.االنتقال من متغيرة متقطعة إلى متغيرة متصلة

 

................................

...............

 

-

 

8

 

-

 

3

 

التقارب بين التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون

 

................................

..................

 

-

 

8

 

-

 

 

- 3 - 

4

 

نظرية النهاية المركزية

 

................................

................................

...........

 

-

 

8

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

............................

 

-

 

11

 

-

 

  الفصل

VII

.

 

نظرية توزيع املعاينة

 

................................

..................

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

مفاهيم إحصائية

................................

................................

...........................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

 المجتمع والعينة

 Population et échantillon

 

................................

...........

 

-

 

1

 

-

 

2

 

  العينة النفادية والعينة غير النفادية

Echantillon exhaustif et non exhaustif

 

-

 

2

 

-

 

3

 

 العينة العشوائية

Echantillon aléatoire

 

................................

...................

 

-

 

2

 

-

 

4

 

 معالم المجتمع

Paramètre d’une population

 

................................

.........

 

-

 

2

 

-

 

5

 

 إحصائية المعاينة

Statistique de l’échantillonnage

 

................................

 

-

 

2

 

-

 

 المبحث

2

.

 

توزيع ال

معابنة للمتوسطات

 

................................

................................

.............

 

-

 

2

 

-

 

1

 

متوسط توزيع المعاينة للمتوسطات

 

................................

.............................

 

-

 

2

 

-

 

2

 

تباين توزيع المعاينة للمتوسطات

 

................................

................................

 

-

 

3

 

-

 

3

 

 طبيعة توزيع

m

 

................................

................................

....................

 

-

 

5

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

5

 

-

 

 المبحث

3

.

 

توزيع المعاينة للنسبة

 

................................

................................

....................

 

-

 

6

 

-

 

 المبحث

4

.

 

توزيع المعاينة للفروق والمجاميع

 

................................

................................

.....

 

-

 

7

 

-

 

1

 

المتوسط والتباين

 

................................

................................

...................

 

-

 

7

 

-

 

2

 

 طبيعة

توزيع المعاينة للفرق بين متوسطين

 

................................

....................

 

-

 

7

 

-

 

 المبحث

5

.

 

توزيع المعاينة للتباين وتوزيع المعاينة لنسبة تبايني عينتين

 

................................

.......

 

-

 

8

 

-

 

1

 

توزيع المعاي

نة للتباين

 

................................

................................

..............

 

-

 

8

 

-

 

2

 

توزيع المعاينة لنسبة تباينين

 

................................

................................

......

 

-

 

9

 

-

 

3

 

ملحق

 

................................

................................

...............................

 

-

 

11

 

-

 

4

 

خالصة

 

................................

................................

............................

 

-

 

11

 

-

 

  الفصل

VIII

.

 

نظرية التقدير

 

................................

.......................

 -

 

1

 

-

 

 المبحث

1

.

 

مفاهيم أساسية

 

................................

................................

.............................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

بعض خصائص المقدر

 

................................

................................

............

 

-

 

1

 

-

 

2

 

التقدير النقطي والتقدير بمجال

. 

................................

................................

..

 

-

 

2

 

-

 

 المبحث

2

.

 

التقدير بمجال

 

................................

................................

.............................

 

-

 

3

 

-

 

1

 

مجال الثقة للمتوسط

 

................................

................................

................

 

-

 

3

 

-

 

2

 

مجال الثقة للنسبة

 

................................

................................

...................

 

-

 

4

 

-

 

3

 

مجال الثقة للتباين

 

................................

................................

..................

 

-

 

4

 

-

 

4

 

مجاالت الثقة لنسبة تباينين

 

................................

................................

........

 

-

 

5

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

6

 

-

 

6

 

 ملحق. مجاالت

الثقة للفروق والمجاميع

 

................................

........................

 

-

 

7

 

-

 

 املبحث

3

.

 

طرق تأسيس المقدر

 

................................

................................

.....................

 

-

 

7

 

-

 

1

 

طريقة العزوم

 

................................

................................

.......................

 

-

 

7

 

-

 

2

 

)طريقة المعقولية العظمى (طريقة االحتمال األكبر

 

................................

..........

 

-

 

8

 

-

 

الفصل

  IX.

 

مفاهيم اختبارات الفروض وتطبيقاهتا

 

................................

.....

 -

 

1

 

-

 

الم

 بحث

1

.

 

اختبار المتوسط

 

................................

................................

...........................

 

-

 

1

 

-

 

1

 

.اختبار ثنائي االتجاه للمتوسط

 

................................

................................

...

 

-

 

1

 

-

 

2

 

.االختبار أحادي االتجاه للمتوسط

 

................................

................................

 

-

 

4

 

-

 

3

 

 استخدام

S

 

 كمقدر ل

σ

 

.في اختبار المتوسط

 

................................

...................

 

-

 

5

 

-

 

4

 

 استخدام التوزيع

t

 

.في اختبار المتوسط

................................

.........................

 

-

 

5

 

-

 

5

 

خالصة

 

................................

................................

..............................

 

-

 

6

 

-

 

 المبحث

2

.

 

اختبار النسبة واختبار التباين

 

................................

................................

...........

 

-

 

6

 

-

 

1

 

اختبار النسبة

 

................................

................................

........................

 

-

 

6

 

-

 

2

 

اختبار التباين

 

................................

................................

.......................

 

-

 

7

 

-

 

 المبحث

3

.

 

اختبار المقارنة بين مجتمعين

................................

................................

...........

 

-

 

9

 

-

 

 

- 4 - 

1

 

اختبار تساوي متوسطي مجتمعين

 

................................

...............................

 

-

 

9

 

-

 

2

 

اختبار تساوي تبايني مجتمعين

 

................................

................................

. 

-

 

11

 

-

 

 المبحث

4

.

 

اختبار االستقالل والتجانس

 

................................

................................

...........

 

-

 

11

 

-

 

1

 

اختبار التجانس

 

................................

................................

...................

 

-

 

11

 

-

 

2

 

اختبار التعديل

 

................................

................................

.....................

 

-

 

11

 

-

 

 
 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

 

 

  

ب. ص

 

-

 

1

 

-

 

م

قدمة

 

هذه المطبوعة

 

هذه املطبوعة هي عبارة عن حماضرات اإلحصاء

 

 حسب الربنامج الوزاري ملقياس

"

إحصاء

 5

" 

 للسنة الثانية علوم

ال

تسيري

. 

  لكي يستفيد الطلبة من القاعدة اليت اكتسبوها عند دراسة اإلحصاء الوصفي يف السنة،ةيناثلا ةنسلا ةبلطل سايقلما اذه جمرب

 . لكن هدفه األساسي هو التمهيد لدراسة اإلحصاء التطبيقي يف السنة الثالثة،لىولأا

هدف هذا املقياس هو ت

 قدمي علم

اإل

حصاء الرياضي

، 

 .أي األساس الرياضي لإلحصاء التطبيقي

 

  لكن تقدمي هذه املادة لطلبة العلوم،ةسدنلها و مولعلا تايلك في سايقلما اذه ةدام سردت ،تايضايرلا نم اعرف اهرابتعاب

 .اإلنسانية يتضمن صعوبة خاصة

 هذه

 املطبوعة

 هي مثرة

جتربة سنوات عدي

ة يف

   تدري

 اإلحصاء

بكلية

 

الع

 لوم االقتصادية

جلامعة املسيلة

  ولقد،

 حاولنا أن

 نستفيد من هذه التجربة لصياغة

 حمتوى

 املقياس

بطريقة تالئم مستوى طل

 بة

 هذه الكلية و

 .طبيعة التخصص

 لتحقيق هذا الغرض

حرصنا على ربط املفاهيم والقواعد النظرية باستخداماهتا التطبيقية

؛ 

 فعملنا

 على إعطاء

أمثلة حملولة عن كل

 

مفهوم جديد. و

 

 ألن فهم القواعد الرياضية يكون أسهل إذا كان للمتلقي خلفية عن املشكلة اليت حيتاج

 ،حلها إىل استخدام هذه القواعد

 عملنا يف كثري من األحيان إىل

 التقدمي

 لبعض الدروس

أو النظري

ات

 

مبسأ

 لة

 تكون مبثابة

  وأحيانا مبثابة مشكلة،ديهمتلا

 ننطلق منها

لن

 توصل إىل

النظرية

. 

 هذا و

 ننبه

طلب

 تنا األعزاء

 إىل أنه

ي

 فرتض

 هبم عند دراسة

 اإلحصاء الرياضي أن يكونوا قادرين

 على

استيعاب املفاهيم الرياضية بعموميتها و ال يبقوا خياهلم حبي  األمثلة واملسائ

 ل

 فاإلحصاء الرياضي غري اإلحصاء التطبيقي الذي يعىن بتطبيقات هذه املفاهيم في،ةاطعلما

 .ما بعد

 

 أطوهلا الفصل الثاين،لوصف ةيناثم ىلع ررقلما جمانبرلا نمضتي

 

"املتغريات العشوائية" نونعلما

 .

من

 أ

 جل املوازنة بني الفصول

 رأينا أن

نعيد جتزئة حمتويات الربنامج. فأعدنا ت

قس

ي

 م

 حمتويات الفصل الثاين إىل

3

 

  ومجعنا حمتويات،همجلح ارظن لوصف

الفصل السابع و الثام

 .ن يف فصل واحد لتعلقهما مبوضوع واحد

 ولقد قسمنا الفصول إىل

مباحث

 حبيث،

 

 يوافق

املبحث

 

 حماضرة

واحدة يف أغلب األحيان

 و،

 

 التزمنا

 يف الغالب األعم

 لكن سوف جيد القارئ أننا توسعنا يف بع،ررقلما جهنلماب

 ض

 فله أن يلم هبذه االستطرادات إن رأى أن،تاقحللما للاخ نم بناولجا

 و إال،ةررقلما ةيسيئرلا طاقنلا مهف نم نكتم دق ه

 

 .فإننا ننصحه بأن مير عليها مرور الكرام

 و

 غين عن الذكر أن حمتوى هذه املطبوعة من نظريات وقواعد لي  من إبداع

  و إمنا هي قواعد مبسوطة يف املراجع مجعناها وعرضناها بأسلوب،اهفلؤم

رأينا أنه األنسب مل

ستوى طالب كلي

ة ال

 علوم

 .االقتصادية

 و

  هنيب هبم أن ال يبخلوا علينا مبالحظاهتم وتعليقاهتم،عضاوتلما لمعلا اذه انئلامز و انتبلطل مدقن ذإ

ح

 ىت

.نستفيد منها لطبعات مقبلة حبول اهلل

  

متطلبات المقياس

 

 فيما يتعلق مبا

حتتاج

 ه

 متابعة

 وفهم

هذا املقياس

  من املهم التمييز بني الفصل األول،

وبقية

 

الفص

 ول األخرى. فالفصل األول

 الذي

 يتضمن

املفاهيم األساسية لعلم ا

 ،الحتماالت ال حيتاج استيعابه إىل مستوى عايل يف الرياضيات

أ

 ما

 باقي الفصول

في

 تطلب فهمها أن يقوم الطالب مبراجعة عدد من املفاهيم الرياضية أغلبها متضمنة يف برنامج الرياضيات للسنة األوىل. تتمثل

 هذه

  التكامل (خاصة التكامل بالتجزئة) والدوال األسية. كما حيتاج الطالب إىل قاعدة،قاقتشلاا ،لاودلا في اساسأ ميهافلما

 . التكامل الثنائي والسالسل الشهرية،متيراغوللا ميهافم في ةطيسب

 

كلمة إلى الطلبة

 

كثريا ما نالحظ أن الطلبة يستخدمون التمارين املقدمة يف السالسل كنما

ذج أو شبه قوانني يف حد ذاهتا حياولون ح

 فظها

 بينما هي يف احلقيقة جمرد وسيلة لفهم الدرس. هذا التشبث بالشكل دون املضمون

 يف

حماولة يائسة ملواج

هة االمتحان

 

 دون

 

- 2 - 

فهم حقيق ملضمون املادة هو نتيجة حتمية بالنسبة ملن ال يتابع احملاضرات والتطبيقات باملراجعة املستمرة و ال

ف

ورية

 . وحسب
 ىلع دمتعي امم رثكأ مهفلا ىلع اساسأ دمتعي سايقم هنأ اهببس سايقلما اذه في ةبلطلا اههجاوي تيلا ةبوعصلا نإف انيأر
 لىإ جاتيح انمإو ،هتراهم تناك امهمو يرخلأا اذه لذب امهم ،ذاتسلأا نم يقلتلا قيرط نع ىتأتي لا مهفلا اذهو .ركذتلا

جهد مستقل يبذله الطالب مب

 فرده

 مع قدر

.من الرتكيز و املثابرة

 

 "الوصفة السحرية"

لفهم هذه املادة

، 

ه

ي

 

 املراجعة جبرعات

منتظمة و فورية (بعد كل حماضرة قبل النوم

1

!

.) مع شيء من الرتكيز على القواعد واملفاهيم حىت يتم فهمها فهما جيدا

 

وليع

 مل الطالب على تعميق فهمه

من خالل متارين السالسل و لكن ال

 جامدة"جذانم" اهذختي 

 

أو قواعد إضافية

. 

إن

 

هدف األستاذ واجلامعة ككل هو إعداد الطالب ملواجهة املشكالت املعقدة للتسيري

 ،

 وهذا

 اهلدف ال يتحقق

إال

 

 بتنمية

 الذكاء

 الو

 تزو

 د

بعدد من التقنيات املساعدة

 . إن اجلائزة احلقيقية اليت جيب أن يتوقعها الطالب من دراسة باجلامعة

ه

 ي تكوين

قدرة على التعلم الذايت أكثر من جتميع كم من املعارف اليت قد ال حيتاجها أبدا

 ، و هي من جهة أخرى،

تك

 وين

 ذهنية
 للاخ نم اله لولح عادبإ ثم نمو قيقدو حضاو لكش في اهتغايصو ةدقعلما تايعضولاو تلاكشلما ليلتح ىلع ةرداق ةلقتسم

 .تفكريه اخلاص

 هذه القدرة ال تتأتى

 إذا عود الطالب نفسه على إعمال فكره

 مطوال

يف املسائل اليت تطرحه

ا التمارين

 

 مما

 يعطي الطالب

 القدرة على

 التحليل والرتكيب واالستنباط واالستدالل كأس  التفكري املنتج واملبدع. إن الوصول إىل هذه

القدرة على مواجهة مشكالت وحلها هي غاية أساسية للتعليم اجلامعي وهي أحسن

 

 رأمسال جيمعه الطالب ليستثمر

 ه حياته

.العامة واخلاصة معا

 

نبذة تاريخية عن تطور علم االحصاء

5

 

 . اإلثارة و احلمى،بصعتلا ،سدلحا نم ةرمتسم و ةلصفنم لحارم برع مدقتي ثحبلا نإف اذكهو"

 و

 ذات

 يوم

 تتحقق

 أخريا الفرحة

و ي

 تذوق طعمها من

 .عاش تلك اللحظات الفريدة

[…]

   

أ

لربت

 

أينشتاين

3

  

 

 

 قبل

الشروع يف دراسة

 

 الطرائق املختلفة

 لإلحصاء الرياضي

 يستحسن أن حييط الطالب

 بنظرة

 عن

التط

ور التارخيي ل

  إلحصاء

كممارسة وكعلم

  وأن،

ي

 طلع على جمموعة من

 أبرز

من كتبوا يف هذا العلم

 .

 

 الفترة

 ما قبل الميالد إلى غاية القرن

81

  تدل احلفريات اليت وجدت يف:

 أماكن متعددة على استخدام اإلحصاء من قبل

 عدد من

 احلضارات القدمية عرب املعمورة. منذ القدم استخدم احلكام

 واألمراء

اإلحصاء كوسيلة للرقابة

، 

 و

 أداة

إلد

 ارة اململكة

أو املدينة أو املقاطعة

  واستخدموا يف ذلك،

 .تعداد السكان وجرد السلع واملوارد املختلفة

 يف

 احلضارة السو

م

رية

، 

 اليت سادت

يف بالد ما بني ال

 نهرين

2

 

 آالف إىل ألفي سنة

ق

بل امليالد

، 

واليت ازدهرت فيها التجارة

 

بشكل كبري

 كانت قوائ،

 م من السلع

واألشخاص تدون على ألواح من الصلصال

  وقد،

 وجدت حفريات مشاهبة تثبت استخدام اجلرد

 يف عهد

احلض

 ارة املصرية

 اليت سادت

3

 

آالف سنة قبل ا

 مليالد. احلضارة

 املصرية

اليت قامت على التسيري والتقسيم الدقيق ملياه النيل اتسمت إ

 دارهتا

 باملركزية الشديدة وهذا الذي أعطى األمهية

للتدوين

  

كوسيلة للمراقبة

 ،

فقد كان للمصريني القدامى مدارس يتعلم

 

 فيها املوظفون

 القراءة والكتابة

وا

 وكان مما يت،ابه لومعلما ينناوقل

علمه املوظف أن ال اعتبار ألمر أو عقد ما مل يكن مكتوبا. واستخدم اجل

 رد

لدى مجيع احلضارات القدمية تقريبا كاحلضارة الصينية

  و

اهلندية

  و

اليابانية

  و

  وكذا حضار،ةينامورلاو ةينانويلا

 ة اإلنكا

 يف

 الساحل

                                                 

 

1

 

 يعلمنا علم نف  الرتبية أن أكثر من

20

 

باملئة من املعلومات اليت نتعلم

ها ننساها يف التسع ساعات األوىل

. فأنقذ معلوماتك يف الساعات األوىل قبل أن تتبخر

!

 

 

2

 

  سلسلة،ءاصحلإا في تايساسأ ،كيبزورد كاج نوج  :نع ةييخراتلا تامولعلما مظعم تذخأ

(SMA)

  دار،

(Ellips)

 ،

1992

  ص،

5

.

 

 

3

 

من كتاب

ه:

 

كيف أرى العامل. ترمجه إىل الفرنسية

 

 ، فالماريون، يراب ،ويرنوه ييجر

1999

. 

 :عن

 

Microsoft ® Encarta ® 

5002. © 1993-5002 Microsoft Corporation.

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

 

 

  

ب. ص

 

-

 

3

 

-

 

الغريب أل

مريكا اجلنوبية

 

 (ابتداءا من القرن

15

 

 إىل غاية

1295

 )

. يف ه

  ذا العهد

 كان

 اإلحصاء عبارة عن جرد

ا

 ملواد واألفراد

 .وأحيانا جند نظاما لتصنيف املعلومات لكن مل يوجد دليل على عمليات معاجلة هلذه املعطيات

 

  أما يف أوربا،لالما تيب اياطع نم نيديفتسلما ءاصحلإ نيودتلاب رمأ نم لوأ )ر( نامثع ةفيللخا ناك يملاسلإا دهعلا في

فنجد أن أ

 ول اآلثار عن عمليات التعداد ترجع إىل

1002

 

 فقط وبالتحديد يف بريطانيا. أما يف فرنسا فإن عمليات التعداد

 ترجع إىل القرن

11

 

 الذي شهد ميالد أول تسجيالت عقود احلالة املدنية وإجبارية تسجيل عقود االزدياد يف عهد فرنسوا

األول. يف فرنسا دائما جتدر اإلشارة إىل أنه يف ا

لقرن

19

 

 حني أراد

″

كولبريت

″

 -

 

 أب اإلدارة الفرنسية

–

 

 أن يدفع ببالده
 هترازو تدهش نأ هتازجنم نم ناكو ...ةيوق ةيزكرم ةرادإ  سأ ،تقولا كلذ في ايناطيرب هتغلب يذلا يعانصلا ىوتسلما لىإ

(

1230

-

1220

 ) عددا من عمليات التحقيق الكربى.  وشهدت أملانيا وبريطانيا تطورا مشاهبا

باإلضافة إىل د

 .ول أخرى

وقد كان

 

"قرانت"

 (

1250

-

 

1291

 

GRANT :

 ) أول من استعمل

 يف

1225

 

 مصطلحات علم السكان مثل اخلصوبة

  كما قارن بني معدالت والدة اإلناث والذكور. وقد طور هذا العامل مع عامل آخر هو بييت؛ةايلحا ةدم لوطو

(PETTY)

 

  طريقة لتعداد  السكان من  خالل  املعطيات

 "طريقة املضاعف"  ىعدت  )...تايفولا  ددع ،نكاسلما ددع نع(  ةيوناثلا

(Multiplicateur) 

  

 عرفت بعد ذلك حتسينات متتالية على أيدي علماء آخرين منهم خاصة

"البالس"

 (LAPLACE) 

 يف

1902

.

 

ظهور نظرية االحتماالت في قرن

81

 و

81

:

  

تارخييا ارتبط ظهور نظرية االحتماالت بألعاب احلظ ا

ليت كانت سائد

 ة
 ةدئاسلا ةينيدلا ءاوجلأاو بتكلا ةعابط راشتنا ةلق نكل .صاخ لكشب كونبلا اهمظنتو رشع عباسلا نرقلا في ابروأ في ةرثكب

اليت ال تبارك هذه األلعاب منعت انتشار

 

الكتابات يف هذا الشأن

. وي

 نسب

البعض أول الكتابات يف علم االحت

 ماالت إىل

( "باسكال" لماعلا

1253

 -

1225

 

(PASCAL 

 

 "هندسة احلظ" كاذنآ هاسمأ امع بتك يذلا

(La géométrie du 

hasard)

 . وكان ذلك من خالل

 رسائل له مع زميله املعروف هو اآلخر

"فرمات"

 

(

1201

 

–

 

1222

FERMAT :

 . )

كم ينبغي من رمية" باعللأا ةاوه دحأ لاكساب ىلع اهحرط تيلا ةلأسلما صاخ لكشب ددصلا اذه في ركذتو

 مل

 كع ي نرد

حىت ميكن املراهنة بتفاؤل على احلصول على جمموع

 

15

 ؟

 . مث جاء علماء آخرون كانت هلم إضافات بارزة يف هذه الفرتة"

 مثل هاجيان

(HUYGEN : 

1259

 – 

1292

)

  جاك برنويل،

(JACQUES BERNOULLI) 

 ،

موافر

 

(MOIVRE) 

 

 وكذا

اليبنيتز

 (

1212

 

–

 

1912

 LEIBNIZ :

). كما ساهم يف ه

 ذه الفرتة اليت سبقت القرن

19

 

 علماء كبار أمثال

(

LAPLACE 

 

  (GAUSSE,  BAYES,

.عرفت نظرية االحتماالت على أيديهم إجنازات كبرية

 

 القرن

81

  وذلك لقياس نسبة اخلطأ يف"يعيبطلا عيزوتلا" يهو تلاامتحلاا ةيرظن رصانع مهأ ىدحإ تزرب نرقلا اذه في :

 جمال احلسابات الفلكية. كان

هذا من مثرة عمل العاملني البالس وقوس

 GAUSSE)

 و

(LAPLACE

 . يف هذا القرن أيضا

ظهرت حسابات االرتباط لقالتو

 (GALTOU) 

كما برزت أمساء مثل كتلت

 (QUETLET) 

وآخرون

 .

 

 القرن العشر

 و

:ن

 

  أي بصياغة رياضية ناضجة يف شكل قوانني،نلآا اهارن امك تلاامتحلاا ةيرظن

م

ربهن عليه

ا رياضي

  إمنا،ا

.تبلورت يف القرن العشرين وبالضبط يف بدايته

  و

( من األمساء اليت برزت يف الفرتة األوىل

1900

 

–

 

1950

 ) من هذا القرن

 جند من بريطانيا بريسون

(KARLE PEARSON)

  و

من روسيا ماركوف

 

(MARKOV)

  و

 من فرنسا بوريل

(BOREL)

 .

( يف الفرتة الثانية

1951

 

–

 

1935

) درست مسائل التوقع

حيث كان لفيشر،

(FISHER) 

 

.دورا بارزا

 

 يف الفرتة املمتدة من

1933

 

إىل هناية احلرب العاملية الثانية برزت اختبارات الفروض على يد ناميان

(NEYMAN) 

 

 وإيقون

 بريسون

(EGON PEARSON)

 

وبداية النظرية احلديثة للمعاينة لناميان

 

(NEYMAN)

 

 باإلضافة إىل خطط التجارب

 

- 4 - 

 لفيشر. بداية

 من اخلمسينات تكاثرت الكتابات يف جمال اإلحصاء حيث عرفت نظرية التقدير وحتليل البيانات. وبالتدريج

.انتشر استخدام اإلحصاء يف امليادين املختلفة والعلوم التجريبية واإلنسانية

 

م

:لخص

 

تارخييا إذا كانت أوىل استعماالت اإلحصاء ارتبطت حباجة الدولة لتنظيم اجلباية والتجني

 د

 و

 در

 اسة السكان فإن
 لاجمك ظلحاو ةفدصلا باعلأ لئاسبم رملأا لوأ تطبترا )يضايرلا ءاصحلإا لصأ( تلاامتحلاا باسح في تاساردلا لىوأ

 جديد أثار فضول عدد من العلماء الذين أسسوا هذا العلم يف القرن

19

 . التطور السريع لعلم االحتماالت كفرع من

 الرياضيات كان يف بدابة القرن

50

 

 لكن أهم عناصر اإلحصاء الرياضي كما هو معروف اآلن تبلورت يف النصف األخري

.منه

 

تعريف

 

علم ا

إلحصاء

 

 تعريف

مصطفى الخواجة

 

1

 

: وهي تلك الطريقة اليت متكن من،ةيئاصحلإا ةقيرطلا ،ءاصحلإا ملعب دصقي" :

 



 

،مجع احلقائق عن الظواهر املختلفة يف شكل قياسي

 



 

تسجيل بيانات تلك احل

،قائق يف جداول تلخيصية

 



 

.عرض بيانات تلك اجلداول بيانيا وحتليلها هبدف معرفة اجتاهات هذه الظواهر والعالقات فيما بينها

 

 أي أن علم اإلحصاء خيتص بالطريقة العملية جلمع وتنظيم وتلخيص وعرض وحتليل البيانات هبدف الوصول إىل نتائج

 مقبولة وقرارات على ضوء هذا التحليل. أي

  علم استنباط احلقائق من األرقام بأسلوب علمي"هنأ ديدش زايجإب لوقلا نكيم

 ".وبطريقة علمية

 

  وفرع اإلحصاء الذي يهدف,يليلحتلا ءاصحلإاو يفصولا ءاصحلإا اهمو ينمسق لىإ ءاصحلإا ملع ميسقت نكيمو" ...

فقط إىل وصف وحتليل جمموعة معينة دون الوصول إىل نتائج أو استدالل خاص

 

باجملموعات األكرب أو األخرى فإن

 ه يسمى

باإلحصاء الوصفي

، 

 أما اإلحصاء التحليلي فيهتم بعمليات التنبؤ والتقدير عن طريق استخدام جزء من اجملموعة للوصول

". ولذلك يعتمد يف جزء كبري منه على نظرية االحتماالت،اهلك ةعوملمجا ىلع هقيبطت نكيم ماع مكح وأ رارق لىإ

 

 تعريف

جال

وطو جياللي

5

 

 اإلحصاء هو علم مجع وترتيب معلومات خاصة بظاهرة معينة وقياس الوقائع كأساس لالستقراء" :

."

 

 تعريف

جون جاك دراوزبيك

3

 

  جمموعة الطرق اليت هتدف إىل" لمشي يذلا ملعلا كلذ هنأب ءاصحلإا لماعلا اذه فرعي :

يت" :ءاصحلإا ملع عوضوم نع لوقيو "... تايطعلما ةلجاعم

رفـعم ،تانايبلا كلت ىلع لوصلحا ةيفيك ةرفعبم رملأا قلع

 ة من

".أين يتم جتميعها وبأي شكل يكون ذلك التجميع

 

 تعريف

دومنيك سلفاتور

1

 

  واستخدام املعطيات،ليلتحو ،ضرعو ،عمبج ةقلعتلما ةيضايرلا قرطلا عوممج وه ءاصحلإا " :

 الرقمية. هذه العمليات متكن من استخالص استنتاجات و

اختاذ قرارات إزاء حالة عدم التأكد اليت نواجهها يف جمال االقتص

 اد

وجمال األعمال أو يف علوم اجتماعية

  و

".فيزيائية أخرى

 

                                                 

 

1

 

 ، اإلسكندرية،ةيعمالجا رادلا ،ءاصحلإا في ةمدقم :ةجاولخا ىفطصم

5005

 ص،

 

5

 .

 

 

5

 

 ، اإلحصاء مع متارين ومسائل حملولة،ليلايج وطلاج

5005

 ديوان املطبوعات اجلامعية،

 ،

 ص

3

.

 

 

3

 ،دروزبيك

.مرجع سابق

 

  

1

 

 ، دار ماك قراو هيل،موش ةلسلس ،يقيبطتلا ءاصحلإاو يسايقلا داصتقلاا ،روتافلاس كينيمود

1902

  ص،

1

.

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

 

 

  

ب. ص

 

-

 

5

 

-

 

 ويواصل الكاتب

 «

منيز بني اإلحصاء الوصفي واإلحصاء االستداليل

 

(Statistique Inductive)

 

  حيوصل،صخلي لولأا

  وحيلل

 كما من

 أما الثاين في،تايطعلما نم

  الكل يسمى يف هذه احلالة اجملتمع (أو،ءزلجا ةسارد للاخ نم لكلا ىلع طقس

العامل

Univers 

) واجلزء يسمى العينة. صحة اإلسقاط تتطلب إذا أن تكون العينة ممثلة وأن تكون احتمال اخلطأ حمسوبا

."

 

فيما خيصنا

 ي،

 هتم هذا املقياس بدراسة الفرع الثاين من اإلحصاء

 املتمثل يف

اإلحص

اء االستداليل

، 

وهن

كا

 

 من يسمي هذا

" الفرع من اإلحصاء

اإل

 حصاء

ال

."تطبيقي

 

 من املهم ذكر هذه التسميات حىت يعلم الطالب أن بإمكامنه البحث عن مادة

 ،املقياس يف مراجع حتت هذه العناوين وغريها مثل االقتصاد القياسي

 االحتماالت، االحتماالت،يداصتقلاا ءاصحلإا

 

واملتغريات ال

عشوائية أو ببساطة اإلحصاء

 .

 

 االحصاء

التطبيقي

 

 

 

"رجيينالد الفوا" فيرعت

1

 

 :

 

املسألة األساسية لإلحصاء التطبيقي تتمثل نظريا كما"

 

 نريد دراسة عدد من اخلصائ:يلي

 ص

 لكن ألسباب خمتلفة ال ميكن أن نشمل بالدراسة كل أفراد اجمل،ام عمتلمج )...يسايسلا هجوتلا ،نزولا ،رمعلاك(

 تمع. هلذا
 لكك عمتلمجا ىلع ميمعت ىلع لمعن ةنيعلا ةسارد ماتمإ دنعو ،صئاصلخا هذه ةساردل )ةنيع( عمتلمجا نم ءزج ةسارد لىإ أجلن

 ." لفرض عدم اخلطأ يف هذا التعميم،مييقتلا عم ةدهاشلما قئاقلحا

 

حوصلة

: 

بصفة عامة ومن خالل مجيع التعريفات السابقة ميكن القول أن علم اإل

حصاء يهتم بكيفية مجع

  و

ترتيب

  و

 عرض

البيانات

  و

.كذا كيفية حتليلها للخروج خبالصة مفهومة

 

 

                                                 

  

1

 الكيبيك،يقيبطتلا ءاصحلإا ،اوفلا دلانييجر

 ،

1901

  ص،

1,1

 

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

1

 

-

 

الفصل

  

I

.

 

 تذكير

بال

 مفاهيم

األساسية ل

الحتماالت

 

مفاهيم أساسية

 

  

 

 

الترميز

 

 

 

 

األكثر علوا" و اديقعت رثكلأا انهأ ىلع تلاامتحلاا ضعبلا برتعي ايلعلا تاـيـــــــــــــــضاـيرلا مولع ينب نم

" 

!!

  واحلقيقة،

غري

 

 ذلك. إهنا ال تعدو أن

ت

 كون

 بة ملن يريدــــــسنلاب

 حقا

فهم

 ا

 عةــــــضب في صخلتت ةيلــــــسم ةبعل

 قواعد

بديه

ية

 .

 اهيــــــضي لاو
 بعــــشلا عيجم ىلع اهتــــسارد ةيمتح رــــسفي ام ،نيدايلما عيجم في اهدجاوتو اتهامادختــــسا ددعت لاإ تلاامتحلاا ةطاــــسب

اـــسح مهف نإف يريـــستلاو داـــصتقلاا لماعل ةبـــسنلاب .ابيرقت

 ب االحتماالت هو أداة

 يومية

اكل اـــشلما ةلجاعلم

 ملطروحة واختاذ

  تبىن يف،تيبلا بر تىحو لب ،يرسلما تارارقف .رارقلا

99

 

%

 

 من احلاالت على

 معلومات

.غري مؤكدة

  

المبحث

 

1

.

 

مفاهيم أساسية

 

الحدث واالحتمال،ةبرجتلا موـهفم

 

خصائص االحتمال

 

القواعد األساسية في حساب االحتمال

 

تعريف باسكال

 

لالحتمال

 

  

 

8

 

مفهوم التج

  الحدث واالحتمال،ةبر

Epreuve, événement, probabilité

 

(أ

) 

 االحتمال

و الحدث

 

Evénement et probabilité

 

كثريا ما خيلط الطلبة بني هذين املفهومني

 

الرتباطهما ببعض

. 

فاحلدث العشوائي هو

 

واقعة أو نتيجة م

ا

  أما،

 االحتمال

ف

 هو

 عدد

فر والواحدـصلا ينب

 

يعرب

 

( عن حظوظ وقوع احلدث

 لي  شرطا أن يكون زمن

 وقوع احلدث

 ف،لبقتسلما وه

 قد يكون

رــضالحا وأ يــضالما

 .)

 ابقـــسلا يقارعلا  يئرلا لئــس

-

 

قبل حرب اخلليج األوىل

-

 

ما هو احتمال اهنزامكم يف هذه احل

  ؟ رب

 ةــيناــكمإ ىدــم ىلع قيقد لــكـــــــــــــــشب يربعتلا في بــغرن اــمدــنع ."نويلم لىإ دــحاو" :باــجأــف

 ادةــع اــننإــف ينعم ثدــح عوقو

 :لـثم تاراـبع لـمعتـــــــــــــــسن

100

%

 

 د أوـكؤلما ثدـحلل

20

%

 

للحدث احملتمل و

1

 ‰

  إذن،دعبتـــــــــــــــسلما ثدحلل لاثم

 حنن

 نستخدم الكسور يف سلم تصاعدي من

0

 

إىل

1

  حبيث يرمز،

0

 

لالستحالة و

1

 

.للتأكد

  

مثال

ورة عند رمي قطعة نقدية هوــــص ىلع لوــــصلحا لامتحا .

 

1

/

5

 و احتمال احل،

" ول على الوجهـــــص

2

  عند رمي"

 حجر

 نرد هو

1

/

2

 

 .

 

  .. فهي عمليات على،داتحلاا و عطاقتلا تايلمع امأ ةمــسقلا و ءادجلل عــضتخ نأ نكيم و اهحرط وأ دادعلأا عجم نكيم

 .ح أن نكتب احتمال تقاطع (أو احتاد) احتمالـــــــــــــــصي لا كلذ لجأ نم .دادـعلأا ىلع تـــــــــــــــسيل و تاـعوملمجا

 متثل هذه

القاعدة ا

.لذهبية األوىل يف االحتماالت ويف هذا املقياس ككل

  

 

ال واإلمكانيةـمتحلاا ينب زييمتلا بـيجو

 

)(اإلمكانية هي حدث

 . فاالحتمال

 يف مفهوم العلم

هو عدد يقي  حظ

 وظ وقوع

ميه نتيجة أو حدثـــــــــــسن ام ءيـــــــــــش

 

أو إمكانية

.. أما اإلمكانية فهي حدث أو نتيجة ما من بني أحداث أو نتائج أخرى

 

خي

تلف عن هذا املفهوم العلمي تعريف الناس لالحتمال. ف

كثريا ما تطلق كلمة االحتمال و يقصد هبا إمكانية

، 

 فيقال

 مثال

الفصل األول

 

 

المفاهيم األساسية لالحتمال

 

- 2 - 

"  أو يقال"ةدراو ةيناكمإ هذه نإ حيحصلا و "نكمم لامتحا اذه نإ"

 إذا رمينا حجر نرد هناك

2

 

  و الصحيح"تلاامتحإ

 "

 هناك

2

 

 إمكانيات أو

2

 

نتائج حمتملة

"

 ... ،

 

(

ب

)

 

 التجربة

Epreuve

 

 رح املفهوم اجملرد للتجربة و متييزها عن احلدثـــــــشل

 ميكن القول أن

التجربة هي أم احلدث

 

 أو

 أم

 .النتيجة

أل

 ن التجربة تتفرع

 .رورة إىل أحداثـــــــضلاب

 ففي

ابقةـــــــسلا ةلوقلما

  التجربة هي احلرب،

 بينما

 اهلزمية هي نتيجة

 ممكنة

للحرب

.و

 

 التجربة

 قد

 تقبل

نتيجتني أو أكث

.ر

 

ومفهوم التجربة يف علم االحتماالت مفهوم عام و مرن

، 

 فإذا كنا ندرس احتمال احلصول على الوجه

2

 

 عند رمي قطعة نرد

  دات التالفة آللة ما ميكن اعتبار كل وحدة منتجةـحولا نم ينعم ددـع لاـمتحا سردـن اـنك اذإ و ،يمرلا يه ةـبرجتلا نوكت

 وإذا كنا ندرس احتمال عدد معني م،ةبرجتك

 ...بني يف مقياس ما نعترب كل طالب كتجربةـــــــــــــسارلا ةبلطلا ن

ن

 قول احتمال

.حدث أو احتمال نتيجة وال نقول إحتمال جتربة

 

2

 

خصائص اإلحتمال

 

 

 :عادة ما نعرب عن هذه اخلصائص بالطريقة التالية

 



 

االحتمال هو عدد موجب متاما أو معدوم

 

)(ال يكون سالبا

.

 



 

جمموع احتماالت أحداث جتربة ما ي

.ساوي الواحد

 

وميكن إضافة خاصية ثالثة تستنتج بديهيا من اخلاصيتني السالفتني

  و

هي أن االحتمال يك

 ون حمصورا بني

0

 

و

1

. أي أنه ال ميكن أن يكون سالبا

  و

.ال أن يكون أكرب من الواحد

 

3

 

 األركان الخمسة

 في

 حساب

االحتماالت

 

 هناك

 مخ

 

قواعد أساسية يف حساب االحتمال نذكرها اآلن با

قتضاب إلبراز أمهيتها ونعود لشرحها ف

ما بعد

 

 وسنحتاج

إىل استخدام هذه القواعد يف مجيع فصول املقياس

 .

 

1

.

 

 احتمال وقوع حدث يساوي

1

 مطروحا منه احتمال احلدث املعاك . جمموع احتمال احلدث واحتمال احلدث

 املعاك  يساوي

1

.

 

5

.

 

 يساوي احتمال وقوع األول م"ب" و "أ" ناثدح عوقو لامتحا

 ضروبا يف احتمال وقوع الثاين ملا يكون األول قد

.وقع فعال

 

3

.

 

احتمال

 

 وقوع حدثان مستقالن يساوي جداء االحتمالني أي احتمال احلدث األول مضروبا يف احتمال احلدث

.الثاين

 

1

.

 

. ونقول أن احلدثان متنافيان،رفصلا يواسي هسكعو ثدلحا عوقو لامتحا

 

2

.

 

 يساوي مج"ب" وأ "ا" ثدح عوقو لامتحا

.ع احتمايل احلدثني مطروحا منه احتمال حتققهما معا

  

4

 

القاعدة ال

 سادسة

 أو

 حساب االحتمال حسب

 تعريف باسكال لالحتمال

 

 عرف

  بليز باسكال

(Blaise Pascal : 

1253

)

 

 االحتمال

:بالشكل التايل

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

3

 

-

 

 إذ،ةنكملما تلاالحا ددع ىلع اموسقم ثدلحا عوقول ةمئلالما تلاالحا ددع وه ثدح لامتحا"

 ا

".اقرتضنا أن كل احلاالت هلا نف  االحتمال يف الوقوع

 

1

 

:مثال

 

ما

 

؟ هو احتمال احلصول على عدد زوجي عند رمي قطعة نرد

 

. احلدث واالحتمال يف هذا املثال،ةبرجتلا نم لك ينب

 

(  هناك ثالث حاالت مالئمة للحصول على عدد زوجي:باولجا

5

 ،

1

 و

2

). أما العدد الكلي للحاالت املمكنة

 

 فهو

2

 :

(

1

 ،

5

 ،

3

 ،

1

 ،

2

، 

2

 .)

وبافتراض أن كل الحاالت الممكنة لها نفس االحتمال

 

 فإن احتمال احلصول على عدد زوجي

 هو

=

. 

 

.، ال ميكن استخدام هذه العالقة إذا مل تكن احتماالت احلاالت متساوية:هيبنت

 

مثال

2

 . صندوق به

9 

 

 كريات منها

2

 

 محراء. نسحب

3 

 

كريات معا. ما هو احتما

ل أن تكون كلها محراء

  بني كل من؟

التجربة

  و

.احلدث يف هذا املثال

 

 

 عدد احلاالت املالئمة

 

:وعدد احلاالت املمكنة

 

 . إذا االحتمال هو

 .

 التجربة هي السحب من

...  احلدث أو النتيجة هي احلصول على،قودنصلا

 

مثال

3

 . فوج مكون من

10

 

 طلبة. نسحب بالقرعة

اسم

 

 من العشرة. ما هو

؟احتمال أن يكون الطالب أمحد

 

 بني كل من

التجربة

  و

.احلدث

 

 نسحب (بدون إعادة) عينة من

3

 

   ؟أمساء من العشرة. ما هو احتمال أن يكون منهم الطالب أمحد

 

 :اجلواب

1

 )ا

 حتمال

احلدث األول أو النتيجة األوىل هي

 

،

 

5

 :) عدد الطرق املمكنة للعينة

 عدد احلاالت املالئمة لكي يكون،

 

:أمحد يف العينة

 

 

:االحتمال هو إذا

 

... ، النتيجة أو احلدث هي أن يكون الطالب أمحد،بحسلا يه ةبرجتلا

 

 مثال

4

 . يتناف  أمحد مع

3

 

 زمالئه على أعلى نقطة يف كل من االمتحانات الستة للسداسي. إذا كانت حظوظ الطلبة

 أن يفوز أمحد بأعلى نقطة:لامتحا وه ام ،ةيواستم ةعبرلأا

 

 ) أن يفوز أحد الطلبة (أيا كان؟ةتسلا تاناحتملاا نم لك في

 ؟بأعلى نقطة يف االمتحانات الستة

 

 :اجلواب

 

1

 ) هناك

1092

= 

 

1

2

 

  إذا االحتمال هو؛ يياقلما عيمبج دحمأ زوف ةلاح اهنم ،ةسفانلما جئاتنل ةنكمم ةلاح

1/1092

.

 

5

 )

 هناك

1

 

 طلبة إذا هناك

1

 

حاالت لفوز أحد الطلبة جبمي

  إذا االحتمال هو، يياقلما ع

1/1092

 .

 

5

 

 

خالصة

 

 االحتمال هو عدد ال يزيد عن

1

 

 و ال يقل عن

0

.

 

                                                 

 

1

  

 رجيينالد الفوا

1901

  ص،

5

 

و

3

.

 

6

3

2

1

3

5

C

3

7

C

35

10

3

7

3

5



C

C

10

1

3

10

C

36

!

)!

(

!

2

9

2

9

1

3

1

10















C

x

x

n

n

C

C

C

x

n

20

3

240

36

3

/

)

8

)(

9

(

10

36

3

10

2

9







C

C

الفصل األول

 

 

المفاهيم األساسية لالحتمال

 

- 4 - 

 التجربة واحلدث واالحتمال هي مفاهيم ال جيب اخللط بينها. التجربة يتولد عنها أحداث (نتائج أو حاالت) خمتلفة. التجربة

 مفهوم مرن يتطلب أحيانا نظرة

 ذكية

وخيال

. من املهم اكتساب

 

هذه املهارة يف حتديد ما هي التجربة أو التجارب يف م

 سألة

ما ألن ذلك هو املفتاح لفهم و حل املسألة

.

 

 هناك مخ  قواعد يف حساب االحتمال

 هي األركان األساسية لعلم االحتماالت. هذه القواعد متعلقة

:ب

 



 

ا

حتمال ا

 حلدث

 املعاك

 ،

 



 

 ،باحتمال حتقق حدثني معا

 



 

باحتمال حتقق حدثني م

 ،عا إذا كانا مستقالن

 



 

 ،باحتمال حتقق أحد حدثني

 



 

.و متعلقة باحتمال حتقق احلدث و عكسه معا

  

 

المبحث

 

2

.

 

الترميز أو التعبير الرياضي عن االحتماالت

 

 

 الطبيعة هي كتاب"

 لغته

جاليلي"تايضايرلا

 (

1221

-

1215

)

 

استخدام نضرية المجموعات

 

 التعبير الرياضي عن قواعد

جمع

 

و

ضرب االحتماالت

 

نظري

ة بايز

 

 نستخدم الرتميز من أجل التوصل إىل تعبري دقيق و واضح لقواعد احلساب االحتمايل وهي ذاهتا القواعد األربعة املذكورة يف

.اجلزء األول

 

 نعرب عن احتمال حدث ما بطريقة رياضية فنكتب

P(A) 

  

 

 ونعرب عن احتمال وقوع احلدث

 :

X = x

  

 :كما يلي

P(X = x) 

 

 أو

P(x)

 

 .

 

اح:لاثم

 احلصول على الوجه" :ثدلحا لامت

2

  : عند إلقاء حجر نرد يكتب"

1/2

 

 =

P(X = 

2

)

 

 : أو باختصار،

1/2

 

( =

P(

2

 

 

 :و أحيانا خنتصر أكثر فنكتب

1/2

 

 =

P

.

 

8

 

استخدام ن

ظ

 رية المجموعات للتعبير عن األحداث العشوائية

 

من خالل البنود التالية تستخدم نظرية اجملموعات للتعبري عن األحداث ال

:عشوائية

 

1

.

 

 نعرب عن النتائج املمكنة لتجربة ما ب

Ω

، 

 و

 .تسمى اجملموعة الكلية أو فضاء العينة

 

5

.

 

نعرب عن احلدث مبجوعة جزئية

 A 

  حيث،ةنيعلا ءاضف نم

A

 

.هي جمموعة من النتائج املمكنة للتجربة

 

3

.

 

 إذا انتهت التجربة بنتيجة متثل عنصرا من

A

 

نقول أن احلدث

 

A

 

.قد حتقق

 

1

.

 

احلدث الذي حيت

وي على نقطة أو عنصر واحد من

Ω 

  

.يسمى عادة حدث بسيط

 

 

مثال

 .

:لتكن جلينا جتربة هي إلقاء مكعب نرد. أكتب جمموعة فضاء العينة مث عرب عمليا عن األحداث التالية

 

 احلدث

A

  احلصول على العدد:

2

 

           )(حدث بسيط

 

  

{

2

}

 ,    A= 

 {

1

, 

5

, 

3

, 

1

, 

2

, 

2

 = }

Ω

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

5

 

-

 

 احلدث

B

احلصول ع:

{                         لى عدد زوجي

5

, 

1

, 

2

}

 

=

B 

 

 احلدث

C

                         احلصول على عدد أويل:

    

{

5

, 

3

, 

2

}

 

 =

C

 

 احلدث

D

                         احلصول على عدد فردي:

  

{

1

, 

3

, 

2

}

 

 =

D

 

 مثال

2

 أكتب جمم:لياوتلا ىلع ينتيدقن ينتعطق يمر يه ةبرتج انيدل نكتل :

وعة فضاء العينة مث عرب عن

:

 

احلدث

 A 

         ) احلصول على مرتني كتابة (حدث بسيط:

{

PP

 

}

,  A = 

 {

PP, PF, FP, FF

 =}

Ω

 

 احلدث

B

 

{                     احلصول على كتابة مرة واحدة:

FP, PF 

}

 B =  

 

احلدث

C 

 

           احلصول على كتابة يف الرمية األوىل:

  

 

  

 

{

PF, PP 

}

= 

 

C

 

 

2

.

 

احلدث،تناك ايأ ام ةبرتج في ةنكملما ثادحلأا ينب نم

 Φ 

 ميثل احلدث املستحيل ألنه ال ميكن أن يتحقق

.عنصر منها

 P(Φ) = 

0

.

 

2

.

 

  حدث اجملموعة األساسية،تناك ايأ ام ةبرتج في ةنكملما ثادحلأا ينب نم

Ω

 

  وهو احلدث األكيد ألنه،اهسفن

.البد أن يتحقق أحد عناصرها على األقل

 P(Ω) = 

1

     

 

9

.

 

اجلمع،حرطلا ،عطاقتلاو داتحلإا لثم تايلمع قيبطتب

 

 .... على اجملموعات حنصل على جمموعات جديدة جزئية

 من

Ω

  

ومن مث أحداث جديدة يف

 Ω

 : .  من ذلك

 

AUB

 

 إما:ثدلحا وه

A

  

 أو

B

 

.أو كالمها

 

A∩B

 

 :هو احلدث

A

 و

B

 

.يف وقت معا

 

 

A

C

 

 هو احلدث املعاك  ل

A

.

 

B

 

–

 

 A

هو احلد

 :ث

A

 

 لكن لي

 B

.

 

0

.

 

 

 إذا كان

Φ

 

 =

A∩B

  

نقول أن

A

 و

B

 

 متنافيان (أو غري متالئمان) أي ال ميكن وقوعهما معا

(

mutuellement exclusifs

.)

 

  إذ كان:ينترم ةيدقن ةعطق يمرن :لاثم

A

 

"مرتني كتابة" ثدلحا وه

 و

 

B

 

"صورة على األقل"

.

 

         

A = {PP}.  B = {PF, FP, FF}      

     

 

A∩B

 

=

 

Φ

    

 

2

 

 التعبير الرياضي عن

 قواعد

 حساب

االحتماالت

 

(أ

) 

الحدث المعاكس

 

 أو التعبير الرياضي عن القاعدة رقم

8

. 

Evénement contraire

 

 نعرب عن احلدث املعاك  ل

A

 

 ب

Ā

 

 أو

A'

  و

احتماله هو احتمال عدم حتقق احلدث

 

A

 ،

: ونكتب

 

P(Ā) + P(A) = 

8

  <=> P(Ā) = 

8

– P(A)

 

 
 
 
 

 نرمي ق:لاثم

طعة نقدية

  و

 نرمز ب

P

 

للكتابة

 و

F

 

:للصورة (الوجه). نالحظ أن

 

P(P) = P(F') = 

1

– P(F) <=> P(P) + P(F) = 

1

 

 

A 

Ā 

Ω  

الفصل األول

 

 

المفاهيم األساسية لالحتمال

 

- 6 - 

 مثال

5

  عند رمي حجر نرد فإن احتمال احلصول على العدد:

2

 

 :هو

P(

2

) = 

1/2

 

  فما هو احلدث املعاك  يف هذه،

؟احلالة وما احتماله

 

 احلدث املعاك  هو احلصول على عدد غري

2

، 

 و

 :احتماله هو

P(

2

') = 

1

 – P(

2

) = 

1

 – (

1/2

)  = 

2/2

. 

 

 مثال

3

  ماهو احلدث املعاك،يجوز ددع ىلع لوصلحا لامتحا وه ام ،درن رجح يمرن :

  و

 ؟ما هو احتماله

 

P(nombre pair) = P(

5

 ou 

1

 ou 

2

) = 

3/2

 

،احلدث املعاك  هو احلصول على عدد غري زوجي

 و

 

:احتماله

 

P(impair) = 

1

– P(pair) = 

1

– (

3/2

)  = 

3/2

.

 

(

ب

)

 

" احتمال وقوع الحدث

A

"  و"

B

 "

 أيا كانت

(

 قاعدة

 رقم

2

.)

 

 

                          

P(A∩B) = P(A)* P(B/A)

 

P(A∩B∩C) = P(A)* P(B/A)* P(C/(A∩B))

 

A, B, C

 

أحداث ما

 

) متنافية أو ال،لا وأ ةلقتسم(

  

،

    

(

A

/

B

)

P

  ي

سمى االحتمال الشرطي ل

B

 

 علما أن

A

 

حم

قق

.

 

 :ومن املعادلة األوىل حنصل على

  

 لما

 

0

 

<

 (

A

 )

P

        

(

A

)

P

 

( /

A∩B

)

P

  

( =

A

/

B

)

P

 

 حيث

A

 

 تصبح فضاء املعاينة مبا أن

 A

           .حمقق

           

 

 

:مثال

  

1

 ) أحسب عند إلقاء حجر نرد احتمال احلصول على قيم أقل من

1

 

(حدث

B

.)

 

 

5

) أحسب ا

 حتمال احلصول على نتيجة أقل من

1

 

 إذا علمت أن الوجه احملصل ملكعب النرد عدد فردي

)

حدث

(A

.

 

3

 ) أحسب احتمال احلصول على قيمة أكرب أو يساوي

1

 

.إذا علمت أن النتيجة عدد فردي

 

P(B) = P(

1

ou 

5

 ou 

3

) = P(

1

) + P(

5

) + P(

3

) = 

3/2

 

P(B/A) = P(B∩A)/P(A) 

 

P(B∩A) = P (impaire et  ≤ 

1) = P(

1

 ou 

3

) = P(

1

) + P(

3

) = 

1/2

  +  

1/2

 = 

5/2

 

P(B/A) = P(B∩A)/P(A) = 

5/2

  /  

3/2

  =  

5/3

 

(

ج

)

 

" احتمال وقوع الحدث

A

"  و"

B

"  لما"

A

"  و"

B

(  مستقالن"

 قاعدة

 رقم

3

.)

 

P(A∩B) = P(A) * P(B)                     (P(B/A) = P(B))

 

وهو تعريف استقالل حدثني

 ،

 أي أن وقوع

B

 

ال

  يتأثر بوقوع

A

 

 أو عدم وقوعه نقول أن

A

 و

B

 

،مستقالن

 

 P(A∩B∩C) = P(A) * P(B) * P(C)                 P(C/(A∩B)) = P(C)     

 

A\B     A

∩

B     B\A 

 

A 

B 

Ω  

رسم

 

8

  

  الحدث

B/A

 

  غير الحدث

B\A

 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

7

 

-

 

:مثال

 

نرمي حجر نرد وقطعة نقدية معا. ما هو احتمال احلصول على الصورة

  و

 العدد

2

 

  (نتيجة مكعب النرد مستقلة؟

.)عن نتيجة القطعة النقدية

 

P(A∩B) = P(A).P(B) = 

0,2

 * 

1/2

  = 

1/15

. 

 

 

 مثال

2

. نلقي قطعة نقدية مرتني. أحسب احتمال احلصول على صورة يف الرمية األوىل

  و

.يف الرمية الثانية

 

P(FF) = P(A∩B) = P(A) P(B) = 

0,2

 * 

0,2

 = 

0,52

 

 مثال

3

 . صندوق به

2 

 

 كريات

5

 

محراء

 و

3

 

بيضاء. نسحب كرية نسجل لوهنا مث نعيدها للصن

دوق

  و

 نكرر العملية

3

 

.مرات

 

o

 

 أحسب احتمال احلصول على

5 

 

 ،كريات محراء

3 

 

.)كريات محراء (أحداث مستقلة

 

o

 

؟)كيف يكون االحتمال يف حالة كون السحب بدون إرجاع الكرية (أحداث غري مستقلة

 

0/52

= 

 

5/2

* 

 

5/2

) = 

5

) P(R

1

) = P(R

5

R

 

∩

 

1

P(RR) = P(R

 

0/152

= 

 

5/2

* 

 

5/2

* 

 

5/2

) = 

3

) P(R

5

) P(R

1

) = P(R

3

R

 

∩

 

5

R

 

∩

 

1

P(RRR) = P(R

 

5/50

= 

 

1/1

* 

 

5/2

) = 

1

/R

5

) P(R

1

) = P(R

5

R

 

∩

 

1

P(RR) = P(R

 

0

= 

 

0

* 

 

1/1

* 

 

5/2

)) = 

5

∩R

1

/(R

3

) P(R

1

/R

5

) P(R

1

) = P(R

3

R

 

∩

 

5

R

 

∩

 

1

P(RRR) = P(R

 

(د

) 

" احتمال وقوع حدث

A

"  أو"

B

  (القاعدة رقم"

4

.)

 

 

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

 

 
 
 
 

(

ه

)

 

 احتمال وقو

"ب" وأ "أ" ثدح ع

 

(  متنافيان"ب" و "أ" امل

 القاعدة رقم

5

.)

 

لتكن األحداث امل

تنافية

 

A, B

 

P(AUB) = P(A) + P(B)      (P(A∩B) = 

0

)

 

P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)      (P(A∩B∩C) = 

0

)

 

 

 

  

 

(و

) 

قواعد إضافية مهمة

 



 

من أجل

   

5

A

 

⊂

 

1

A

   

:فإن

    

  

 

)   

5

P(A

 

≤

 

)

1

P(A

  

  

 و

 

–

) 

5

) = P(A

1

A

 

–

 

5

P(A

 

 

            

)

1

P(A

 

 

 

            A

∩B

      

A 

B 

Ω  

A 

Ā 

Ω  

A

1

 

A

2

 

Ω  

الفصل األول

 

 

المفاهيم األساسية لالحتمال

 

- 8 - 

 



 

 من أجل

A

 و

B

 

:أحداث أيا كانت

 

P(A∩B) + P(A∩B’) = P(A)

 

 

 



 

 إذا كان

A

 

:هو نتيجة أحد أو بعض األحداث املتنافية

 

 

n

A

 

……

 

, 

 

1

, A

 

3

, A

 

5

, A

1

A

 

 

)

n 

A

+ P(A∩

 

…….

 

+

) 

 

3

) + P(A∩A

 

5

) + P(A∩A

1

P(A) = P(A∩ A

 

 

 

 

3

 

نظرية اال

 حتمال السببي أو نظرية بايز

Théorème ou règle de BAYES

      

                                       

 

 لتكن

1

A

،

 

5

A

،

 

3

A

، 

. 

. 

. 

k

A

، 

. 

. 

.،

 

n

A

  

 أحداث متنافية فيما بينها حيث احتادها يشكل اجملموعة الكلية

 )(األساسية

Ω

 و،

A

 

حدث ما يتحقق عن طريق واحد أو أكثر من األحداث

 

k

A

  إذا علمنا أن،

A

 

  حنسب،ققتح

 احتمال حتققه عن طريق احلدث

k

A

  

 :كما يلي

 

 

  تسمى هذه النظرية نظرية االحتمال السب ي ألهنا متكن من حساب احتمال أن يكون حدث ما

)

k

(A

 

 هو املسبب لوقوع

( حدث آخر

A

.)

 

 

مثال

  و:

ظ

 فت أمينة

 مكتب

(

1

A

 ) مبكتب للمحاسبة حيث تولت

طبع

 

50

 

%

 

من ال

 فواتري. يشغل

( املكتب عاملتني أخريني إحدامها

5

A

 ) تطبع

30

%

 

من الفواتري

  و

( األخرى

3

A

 )

20

%

 . ترتكب املوظفة اجلديدة أخطاء

 يف

2

%

 

(  بينما نسبة اخلطأ لدى الثانية،يرتاوفلا نم

5

A

  )

5

%

  و

( لدى الثالثة

3

A

 )

1

%

.

 

 أخذت فاتورة بشكل عشوائي فتبني أن هبا أخطاء. استبعدت األوىل أن

تكون هي من أجنزت الفاتورة حبجة أهنا ال

  تنجز

 إال

50

%

 

،من الفواتري

  و

(ردت عليها العامالت األخريات بأن نسبة األخطاء لديها هي األكرب

2

%

.)

 

1

( .   أحسب احتمال أن تكون املوظفة اجلديدة

1

A

) هي اليت حررت الفاتورة

  و

 قارن مع احتمال أن يكون

 مصدر اخلطأ هو

5

A

 

 أو

3

A

.

 

5

.  أحسب

 

.جمموع االحتماالت الثالث

 

)

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

1

A

P

A

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

k

n

k

k

k

k

k

k











A

1

    A

2

        A

k

 . . .         A

n

 

A 

Ω  

 رسم

 2

  

رسم يوضح نظرية بايز

 

A

1

    A

2

        A

k

 . . .         A

n

 

A 

Ω  

 

   A∩B’     A

∩B

     B

∩B

’ 

 

A 

B 

Ω  

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

9

 

-

 

3

. أن تكون هبا أخطاء،تلاسارلما عوممج نم ابئاوشع ةراتمخ ةروتاف نوكت نأ لامتحا بسحأ .

 

 

 يظهر من احلساب أن االحتمال األكرب هو أن تكون

3

A

 

 .هي اليت حررت الفاتورة

 

5

.

 

 جمموع االحتماالت

 

1

/A) = 

3

/A) + P(A

5

/A) + P(A

1

P(A

 

ألهنا متثل احتماالت األ

 حداث املتنافية

 .الثالث

 

3

:. احتمال وجود خطأ يف مراسلة ما

 

 

4

 

خالصة

 

 باستخدام نظرية اجملموعات كأساس للرتميز يف جمال االحتماالت ميكن احلصول على صياغة أكثر دقة للمفاهيم

 :املختلفة. هبذه الطريقة نستخدم

 

 

 رمز التقاطع

∩

 

( "و" ةرابع نع لادب

et

 الوجه" لامتحا :لاثم  )

5

 و

 

2

  : يف رمييت نرد"

P(

5

) * P(

2

)

 

 =

(

"

2

"

 

∩

 P("

5

" 

 

 

 رمز اإلحتاد

U

 

" " أو"ةرابع نع لادب

ou

 احتمال الوجه:لاثم "

 

5

 

 أو

2

 

 يف رمية نرد

P("

2

"U"

5

") = P(

2

) + 

P(

5

)

 

 رمز املتمم

A

C

 

 أو

 

Ā

 

  عك" ةرابع نع لادب

A

 

 ؛"

 

A)   

P(

 

–

 

1

Ā) = 

P(

 

من خالل هذا الرتميز ميكن أن نعرب بسهولة ع

.ن القواعد اخلمسة األساسية حلساب االحتماالت

 

-     P(A∩B) = P(A)* P(B/A) 

 

)

بشرط

 

 

0

( <

A

 )

P

 

(

                  

(

A

)

P

 

( /

A∩B

)

P

  

( =

A

/

B

)

=>  P

 

عندما يكون احلدثان مستقالن

-     P(A∩B) = P(A)* P(B)                            

 
 

-      P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

 

عن

: دما يكون احلدثان متنافيان أي

-      P(AUB) = P(A) + P(B)                         (P(A∩B) = 1)

 

 

.مسألة

 

 نسمي،ينترم ةيدقن ةعطق يمرن

 

A

 

"

"مرتني كتابة

 و

B

 

: عرب عن احلدث،"لىولأا ةرلما في ةباتك"

 

 A 

،

 B

، 

Ā

، 

 A∩B

 ،

 AUB

 ،

 

B

–

 A 

 ،

B – A

  

 

A = {PP}, B = {PP, FP}, Ā = {PF, FP, FF},

 

A∩B = {PP}, AUB = {PP, FP}, A – B = Φ,           B – A= {FP}

 



 

 





 

 





 

 



476

.

0

01

.

0

*

5

.

0

02

.

0

*

3

.

0

05

.

0

*

2

.

0

01

.

0

*

5

.

0

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

2857

.

0

01

.

0

*

5

.

0

02

.

0

*

3

.

0

05

.

0

*

2

.

0

02

.

0

*

3

.

0

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

238

.

0

01

.

0

*

5

.

0

02

.

0

*

3

.

0

05

.

0

*

2

.

0

05

.

0

*

2

.

0

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(

3

1

3

3

3

3

1

2

2

2

3

1

1

1

1











































k

k

k

k

k

k

k

k

k

A

A

P

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P

A

P

A

A

P



 

 















012

.

0

01

.

0

*

5

.

0

02

.

0

*

3

.

0

005

.

0

*

2

.

0

)

/

(

)

(

)

(

k

k

A

A

P

A

P

A

P

الفصل األول

 

 

المفاهيم األساسية لالحتمال

 

- 11 - 

5

 

ملحق

 

(أ

) 

التعبير الهندسي عن االحتماالت

 

 قبل

 الشروع يف

حل

 م

سألة مركبة لالحتماالت يستحسن حتليلها ب

 استعمال أشكال هندسية

توضح عناصر ا

 )ملسألة (األحداث

 والعالقات بينها. يستخدم هلذا الغرض شجرة

 .االحتمال (أنظر امللحق) وخمطط فني

ت

بني شجرة االحتمال األحد

 اث املتنافية
 ثادحلأا ليثمتل مدختسيف ينف ططمخ امأ ،لصأ نم عرفتت ناصغأ للاخ نم كلذو ةرركلما وأ ةدحاولا ةبرجتلا نع جتنت تيلا

.الفرعية دوائر داخل مستطيل ميثل التجربة

  

 
 
 
 

يراعى يف رسم الشجرة أن يكون جم

موع احتماالت كل تفريعة يساوي الواحد. التفريعة هي مبثابة شجرة فرعية حتتوي أحداث

 

. لكوهنا متثل النتائج احملتملة لتجربة جزئية،ةيفانتم

 

 .مثال. نرمي قطعة نقدية مرتني

.أحسب احتمال احلصول على مرتني صورة

 

 

P(face ∩ face) = P(face) * P(face/face) = 

0,2

 * 

0,2

 = 

0,52

.

 

 

A 

 

رسم

 1

  

مخطط فين

 

 صورة

P(face/face) = 5.0 

 

 صورة

P(face) = 5.0 

 

 كتابة

P(pile) = 5.0 

 

 كتابة

P(pile/face) = 5.0 

 

 صورة

P(face/pile) = 5.0 

 

 كتابة

P(pile/pile) = 5.0 

 

 
P(FF) = P(F) P(F/F) 
 
 
 
P(FP) = P(F) P(P/F) 
 
 
P(PF) = P(P) P(F/p) 
 
 
 
P(PP) = P(P) P(P/P) 

محاضرات اإلحصاء الرياضي

 

  

 ص

.ب

 

 

 

I

-

 

11

 

-

 

 

(

ب

)

 

 في

مفهوم الحدث العشوائي

 

 جيب املالحظة أن كلمة

 حدث

  بل املقصود أننا نتحدث عن حدث،نوناق يلأ عضيخ لا ثدلحا نأ نيعت لا يئاوشع

ال

 

نعلم مسبقا ما إذا كان سيقع أو ال

 

يقع. اهلزمية اليت وقعت يف احلرب وأي هزمية كانت هلا أسباهبا وليست حم

 ض مصادفة