أسئلة دورات الجبر الخطي
1
ط ال ب لك ي ة ا ل ع ل و م: لى و أ ل ا ة ن س ل ا ة ع و مجم
ق س م ا ل ر اي ض ي ا ت
2 0 1 7
: مجم و ع ة ا ل س ن ة ا ل ث ا ن ي ة
I m p r o v e o u r
M a t h e m a t i c s
: ص ف ح ت ن ا ع ىل ف ي س ب و ك
I O M
ا ل ر ا ب ط
f a c e b o o k . c o m / M a t h e m a g i c T e a m
/
حل الدورة
التكميل
ي
ة
2016
: ةٌلاتلا ةنهربملا ةحص تبثأ
: السؤال األول
كنٌل
على الحقلًافرعم ًاٌعاعش ًءاضف
و
نٌٌعاعش نٌئاضف
نٌٌئزج
من
كونٌ ٍذئدنع
: إذا وفقط إذا تحققًارشابم ًاعومجم
* +
: أي
* +
:
الحل
لنفرض أن
نٌٌئزجلا نٌءاضفلل رشابم عوجم
من التقاطعًاٌفٌك ًارصنع ذخأنلو
ولنثبت إنه صفري
كنٌل
:ٍعندئذ
و
:مكن كتابة أنٌ ةٌقٌقحلا ًف
⏟
⏟
( )
كما أن
( )
ولما كان
فإن العنصرًارشابم ًاعومجم
دٌحو لكشب بتكٌ
على شكل مجموع
ن األول منٌرصنع
منًناثلاو
.
وبمقارنةًاذإ
( )
مع
( )
:نجد أن
ث أنٌحو
منًفٌك رصنع
نتج أنٌف
* +
لنفرض أن"
* +
ولنثبت ان
(مجموع
)مباشر
كنٌل
ولنفرض أن
كٌ
ن على شكل مجموعٌفلتخم نٌلكشب بت
ن األولٌرصنع
من
منًناثلاو
:أي
:قة إنٌقحلا ًف
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
⏟
⏟
( )
إن
و
:ً) وبالتال*( بسح ناٌواستم امهو
* +
و
: ًضاٌأ
* +
ًوبالتال
ن األول منٌرصنع عومجم لكش ىلع دٌحو لكشب بتكٌ
منًناثلاو
: إذن،
:
السؤال
الثبني
ًلنأخذ الفضاء الشعاع
المعرف على الحقل
و لنأخذ
نٌٌئزجلا نٌٌعاعشلا نٌءاضفلا
من
: ًلٌ امك
*( )
+
*( )
+
: و المطلوب
أوجد قاعد و بعد كل من
نٌءاضفلا
ثم أوجد قاعدة و بعد
و هل هما متكامالن أم
؟ ال
أوجد قاعدة و بعد
: الحل
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
: ًو بالتال
*( ) +
*( ) ( ) +
* ( ) ( ) + *( ) ( )+
نالحظ أن المجموعة
*
( )
( )+
تولد الفضاء
كما أنها
مجموعة
ذلك ألنًاٌطخ ةلقتسم
ًو بالتال
قاعدة للفضاء
: كون بعدهٌ و
(
)
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
*( ) +
* ( ) +
*( )+
نالحظ أن المجموعة
*
( )+
تولد الفضاء
ًاٌطخ ةلقتسم ةعومجم اهنأ امك
ًر صفري و بالتالٌغ دٌحو رصنع نم ةنوكم اهنلأ كلذ
قاعدة للفضاء
: كون بعدهٌ و
(
)
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
( )
} ( )
نعوض
( )
ًف
( )
فنجد
:
*( )+
(
)
(
) (
) (
) (
) ( )
فهما متكامالن
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
:نعلم أن
(
)
*
( )
( )
( )+
ًاٌطخ ةلقتسم تناك اذإ امٌف ققحتنل و
:
Δ
|
|
فالمجموعة
*
( )
( )
( )+
تولد
ًاٌطخ ةلقتسم و
ـ تشكل قاعدة لًهف
الحظ أن"
منًئزج ًعاعش ءاضف
V
ساوي بعدٌ هدعب و
V
ًبالتال
"
:السؤال الثبلث
كنٌل
ثٌحب ًاٌطخ ًاقٌبطت
( ) ( )
: و المطلوب
1
)
أوجد صورة الشعاع
( )
2
)
ًق الخطٌبطتلا ناك اذإ امٌف نٌب
هل هو غامر، لا مأ ًانٌابتم
؟تهٌمادعنا و تهبتر دجوأ ؟؟
3
)
أوجد
ًق الخطٌبطتلا ةفوفصم
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب
4
)
كنٌل
ثٌحب ًاٌطخ ًاقٌبطت
( ) ( )
أوجد قاعدة ربط،
ًب الخطٌكرتلا
:الحل
1
)
( ) ( ) ( )
2
)
كونٌ
إذا وفق إذا كانًانٌابتم
( ) * +
كنٌل ،
( ) ( )
:ٍعندئذ
( )
( ) ( )
{
}
: فنالحظ أن
( ) *( ) + *( )+ * +
نٌابتم سٌل قٌبطتلا ًلاتلاب و
ن إذا و فقط إذاٌابتم قٌبطتلا نوكٌف رقتسملا دعب يواسٌ قلطنملا دعب ناك اذإ هنأ ةنهربم بسح ملعن و
كان
ًغامرا
ًس غامراٌل
( ) ( )
(
) ( ) ( ) ( )
3
)
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلا نأ ملعن
: ًه
*
( )
( )
( )+
ًق الخطٌبطتلا ةفوفصم داجٌلإف
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب
نوجد صور عناصر قاعدة
المنطلق
ة لعناصرٌطخ بٌكارت لكش ىلع اهبتكن و
قاعدة المستقر
:
(
) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
: ه تكونٌلع و
(
+
4
)
( )
( )
( ( )) ( ) ( )
: السؤال الرابع
: ةٌطخلا تلاداعملا ةلمج لولح ةعومجم دجوأ
: الحل
: نشكل المصفوفة الموسعة، سواغ ةقٌرط عبتن
(
+
(
+
(
+
(
,
(
)
(
)
: ًفمجموعة حلول جملة المعادالت المعطاة ه
{(
*}
حل الدورة
الثانية
2016
السؤال
األول
:
كنٌل
V
على حقلًافرعم ًاٌعاعش ًءاضف
F
و لتكن،
ة منٌئزج ةٌعاعش تاءاضف
:ًأوال
V
.
أثبت أن
منًئزج ًعاعش ءاضف وه
V
:الحل
إن
.ًوضوحا
بما أن
منًئزج ًعاعش ءاضف
لكل
:فإن
⋂
كنٌل
و
ولنثبت ان
:
بما أن
فإن
كانتًاٌأ
وبما أن
منًئزج ًعاعش ءاضف وه
لكل
: أنًنعٌ اذهف
⋂
منًئزج ًعاعش ءاضف وه
.
.ً جزئًعاعش ءاضف وه ةٌ جزئةٌعاعش تاءاضفل ًهتنملا عطاقتلا :ةجٌتن
:ًناقش صحة النص اآلت
:ًثبنيب
كنٌل
ثٌحب ًاٌطخ ًارثؤم
V
معرف على حقلًعاعش ءاضف
F
:ٍعندئذ
ًمصفوفة المؤثر الخط
L
ًبالنسبة ألي قاعدة مرتبة ف
V
تكون قلوبة
:
الحل
لتكن
H
ًمصفوفة المؤثر الخط
كونٌ ثٌحب
تكون المصفوفةٍذئدنع
H
قلوبة إذا و فقط إذا كان
L
ًتماثال
ناٌدل ناه و
أي أن
ذكر أنٌُ مل نكل
L
سٌل ًلاتلاب و ًلاثامت
بالضرورة أن تكون مصفوفته قلوبة
:السؤال الثبني
ًلنأخذ الفضاء الشعاع
نٌٌعاعشلا نٌءاضفلا ذخأنل و ةقٌقحلا دادعلأا لقح ىلع فرعملا
نٌٌئزجلا
من
: ًلٌ امك
*( )
+
*( )
+
أوجد قاعدة و بعد كل من
ثم أوجد قاعدة و بعد
و هل الفضاءان
متكامالن
؟أم ال
:الحل
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
*( ) +
*( ) ( ) +
* ( ) ( ) +
*
( )
( )+
إن المجموعة
*
( )
( )+
تولد الفضاء
وجدٌ لا هنلأ ًاٌطخ ةلقتسم ًه و
: كونٌ ثٌحب
ـ تشكل قاعدة لًهف
و بعد الفضاء،
: هو
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
*(
)
+
*( ) ( ) +
* ( ) ( ) +
*
( )
( )+
إن المجموعة
*
( )
( )+
تولد الفضاء
ألنه الًاٌطخ ةلقتسم ًه و
وجدٌ
: كونٌ ثٌحب
ـ تشكل قاعدة لًهف
و بعد الف،
ضاء
: هو
-
جاد قاعدة و بعدٌإ
:
كنٌل
( )
:ٍعندئذ
{
:بالحل المشترك نجد
*(
)
+
*
(
)
+
*( )+
نالحظ أن المجموعة
* ( )+
تولد الفضاء
(مكونة منًاٌطخ ةلقتسم اهنأ امك
قاعدة للفضاءًهف )يرفص رٌغ دحاو رصنع
: كونٌ هدعب و
(
)
: بما أن
* +
.ر متكامالنٌغ امهف
:السؤال الثبلث
كنٌل
:ثٌحب ًاٌطخ ًاقٌبطت
( ) ( )
: و المطلوب
1
-
أوجد صورة الشعاع
( )
ًق الخطٌبطتلا قفو
2
-
تهٌمادعنا و تهبتر نٌع مث ؟ رماغ وه له ؟ ًانٌابتم ًطخلا قٌبطتلا ناك اذإ امٌف نٌب
3
-
وجد
M
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب ًطخلا قٌبطتلا ةفوفصم
4
-
أوجد
M
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب ًطخلا قٌبطتلا ةفوفصم
(المنطلق) و القاعدة
*
( )
( )
( )+
المستقرًف
:الحل
1
-
صورة الشعاع
v
ًه
( ) ( ) ( )
2
-
إذا و فقط إذا كانًانٌابتم ًطخلا قٌبطتلا نوكٌ
( ) * +
كنٌل
( ) ( )
:ٍعندئذ
( )
(
)
{
}
أنًنعٌ اذه و
( ) * +
نٌابتم ًطخلا قٌبطتلا ًلاتلاب و
-
تنص على أنه إذا كان بعد المنطلقًتلا ةنهربملا بسح كلذ رماغ ًطخلا قٌبطتلا نأ امك
ًن إذا و فقط إذا كان غامراٌابتم ًطخلا قٌبطتلا نوكٌف رقتسملا دعب يواسٌ
نٌابتم
غامر
:أو بأسلوب أخر فنعلم أن
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))
إن
( )
و
( ( ))
: أنًضتقٌ اذه و
( )
ق غامرٌبطتلاف ًلعف رقتسم وه رقتسملا نأ امب و
-
رتبته
( ) ( ( ))
تهٌمادعنا
( ) ( ( ))
3
-
ةٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب ًطخلا قٌبطتلا ةفوفصم داجٌإ
ًف
: ثٌح
*
( )
( )
( )+
و ألجل ذلك نوجد صور عناصر القاعدة
و
ة لعناصرٌطخ بٌكارت لكش ىلع اهبتكن
:
(
) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
(
) ( ) ( )
ه تكون المصفوفةٌلع و
H
: ًالمطلوبة ه
(
+
4
-
جادٌإ
M
ًة فٌنوناقلا ةدعاقلل ةبسنلاب ًطخلا قٌبطتلا ةفوفصم
(المنطلق) و القاعدة
*
( )
( )
( )+
المستقرًف
ة لعناصر قاعدةٌطخ بٌكارت لكش ىلع اهبتكن و قلطنملا ةداق رصانع روص دجون كلذ لجلأ
: ًلٌ امك رقتسملا
(
) ( )
( )
( )
( )
(
)
: بالمطابقة نجد
{
}
(
)
: بشكل مماثل
(
) ( ) (
)
و
:بالمطابقة نجد
{
}
(
)
:ًراٌخأ و
(
) ( )
(
)
:كونٌ ًلاتلاب و
{
}
(
)
ه تكون المصفوفةٌلع و
M
: المطلوبة
(
)
:السؤال الرابع
: ةٌطخلا تلاداعملا ةلمج لولح ةعومجم دجوأ
:الحل
: فنشكل المصفوفة الموسعة، سواغ ةقٌرطب لحنل
(
+
ـجاد المصفوفة المدرجة المختزلة المكافئة لٌإ لواحنل و
H
:
(
+
(
+
(
+
(
+
(
+
ـ المصفوفة المدرجة المختزلة المكافئة لًه و
H
: و منها نستنتج أن
د للجملة المعطاةٌحولا كرتشملا لحلا وه و