مواضيع المحاضرة: TAYLOR AND MACLAURIN SERIES
background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

 TAYLOR AND MACLAURIN SERIES  

In the last two sections we used   the fact that within its interval of convergence, the function  

f (x) = ∑   a

k

 (x − x

0

)

k

k=0

 

Is differentiable and integrable In this section we look more closely at the coefficients and show that 
they can be represented in terms of derivatives of the function f .We begin with the case and assume 
that so that theorem on power series differentiation applies We have  

f (x) = ∑   a

k

 x

k

k=0

= a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ a

n

x

n

+ ⋯.                                             (1) 

 And clearly, 

f(0) = a

0

+ 0 + 0 + ⋯ + 0 + ⋯ = a

0

                                                                                    (2) 

If we differentiate (1), we obtain 

f

(x) = ∑   a

k

 x

k−1

k−1

= a

1

+ 2a

2

x + a

3

x

2

+ ⋯ + na

n

x

n−2

+ ⋯                                   (3)  

And  

f

(0) = a

1

                                                                                                                                         (4)   

Continuing to differentiate, we obtain 

f

′′

(x) = ∑ k(k − 1) a

k

x

k−2

 

k=1

 

= 2a

2

+ 3 ∙ 2a

3

x + 4 ∙ 3a

4

x

2

+ ⋯ + n(n − 1)na

n

x

n−2

+ ⋯ 

And  

f

′(0) = 2a

2

 Or  

a

2

=

f

′(0)

2

=

f

′(0)

2!

                                                                                                                (5) 

Similarly,  

f

′′′

(x) = ∑

k(k − 1)(k − 2)  a

k

 x

k−3

k=3

 

                          

=  3 ∙ 2a

3

x + 4 ∙ 3a

4

x + 5 ∙ 4 ∙ 3a

5

x

2

+ ⋯ + n(n − 1)(n − 2)a

n

x

n−3

+ ⋯ 

And  

f

′′′

(0) = 3 ∙ 2a

3

  , Or  


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

a

3

=

f

′′′

(0)

3 ∙ 2

=

f

′′′

(0)

3!

                                                                                                                    (6) 

It is not difficult to see that this pattern continues and that for every positive integer n 

 

a

n

=

f

(n)

(0)

n!

                                                                                                                                          (7) 

For   

n = 0   we use  the convention  0! = 1   and f

(0)

(x) = f(x) Then  formula  (7) holds  for  

every  n ,  and we have  the following: 

If   

f (x) = ∑

  a

k

 x

k

k=0

 

then  f(x) = ∑

f

(k)

(0)

k!

k=0

x

k

 

= f(0) + f

(0)x + f

′′

(0)

x

2

2!

+ ⋯ f

(n)

(0)

x

n

n!

+ ⋯                                                             (8) 

for  every  x in the  interval  of convergence  

In the general case, if 

f (x) = ∑   a

k

( x − x

0

)

k

k=0

 

 

=

a

0

+ a

1

(x − x

0

) + a

2

(x − x

0

)

2

+ ⋯ + a

n

(x − x

0

)

n

+ ⋯.                                                         (9) 

Then  

f(x

0

) = a

0

 . 

And differentiating as before, we find that 

a

n

=

f

(n)

(x

0

)

n!

                                                                                                                                   (10) 

Thus we have the following If 

 

 

f (x) = ∑   a

k

( x − x

0

)

k

k=0

 

Then  

f (x) = ∑

f

(k)

 (x

0

)

k!

( x − x

0

)

k

k=0

 

= f(x

0

) + f

′(x

0

)

(x − x

0

) + f

′′(x

0

)

( x − x

0

)

2

2!

+ ⋯ + f

(n)

(x

0

( x − x

0

)

n

n!

+ ⋯            (11)              


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

for  every  x in the in terval of  convergence  

Definition 1 TAYLOR AND MACLAURIN SERIES   The series in (11) is called the Taylor 
series   of the function f at

  x

0

  The special case   x

0

= 0 in (8) is called a Maclaurin series ‡ We 

see that the first n terms of the Taylor series of a function are simply the Taylor polynomial 
described in Section 13 .1. 

WARNING: We have shown here that if

f (x) = ∑

  a

k

( x − x

0

)

k

k=0

 . then f is infinitely 

differentiable 

(i  ∙ e ∙. f   has derivatives of all  orders)  and that  the series  for f is  the  Taylor  

series  or Maclaurin series  if

   x

0

= 0)  of  f  What we have  not  shown  is that  if f  is  infinitely  

differentiable at

   x

0

.    then  f has  Taylor series  expansion  at   x

0

  In  general ,  this  last  

statement  is  false, as we  will  see  in Example  3 on  page  749  

EXAMPLE  1  Find  the Maclaurin series   for 

e

x

 

Solution  If  

f (x) = e

x

. then  f (0) = f

(0) = ⋯ = f 

(k)

(0) = 1. and 

́

 

e

x

= ∑  

x

k

k!

k=0

= 1 + x +

x

2

2!

+

x

3

3!

+ ⋯ +

x

n

n!

+ ⋯                                                                 (12) 

 

What this example shows is that if has a Maclaurin series expansion, then the series must be the 
series (12) It does not show that actually does have such a series expansion To prove that the 
series in (12) is really equal to we differentiate, as in Example 14.9.5, and use the fact that the 
only continuous function that satisfies  

f

(x) = f (x).  f (0) = 1 

Is the function  

e

x

 

EXAMPLE 2   Assuming that the function   can be written as a Maclaurin series, find that series   

 Solution   If 

f (x) = cos x .  then  f (0) = 1.  f

(0) = 0. f

′′

(0) =   −1 f

′′′

(0) =  0. 

f

(4)

(0) = 1. and  so on .  so that  if   cos x = ∑

a

k

x

k

k=0

  . 

Then  

cos x = f(0) + f

(0) +

f

′′

(0)x

2

2!

+

f

′′′

(0)x

3

3!

+

f

(4)

(0)x

4

4!

+ ⋯. 

Or  

cos x = 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

x

6

6!

+ ⋯ = ∑

(−1)

k

x

2k

  

(2k)!

k=0

                                                                 (13) 


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

NOTE   Again, this does not prove that the equality in (13) is correct It only shows that if has a 
McLaurin expansion, then the expansion must be given by (13) We will show that has a 
McLaurin series in Example 5  

EXAMPLE  3 Let  

f (x) = {e

−1/x

2

.  if x ≠ 0     

0.        if x = 0

 

Find a Maclaurin expansion for f if one exists 

Solution.  First, we note that since 

lim

x→∞

e

−1/x

2

= 0. fis continuous Now recall from Example 

12.3.5, that

lim

x→∞

x

a

e

−bx

= 0. if b > 0 Let   y =

1

x

2

   Y Then as x → 0. y → ∞  Also 

1

x

n

  =

(

1

x

2

)

n/2

   so that   lim

x→0

(

e

1

x2

x

n

) =    lim

y→∞

  y

n/2

e

−y

= 0   by Example 12.3.5. 

Now for as so that   is continuous at 0 Similarly, which also approaches 0 as by the limit result 
above In fact, every derivative of f   is continuous and for every n , Thus f is infinitely 
differentiable, and if it had   a Maclaurin series that represented the function, then we would have 

f (x) = f(0) + f

(0) + f

′′

(0)

x

2

2!

+ ⋯ 

But 

f(0) + f

(0) + f

′′

(0) = ⋯ = 0 .   so that the Maclaurin series would be the zero series But 

since f is obviously not the zero function, we can only conclude that there is no Maclaurin series 
that represents  f at  any  point  other  than  0 

Example 3 illustrates that infinite differentiability is not sufficient to guarantee that a given   
function can be represented by its Taylor series Something more is needed  

Definition 2 ANALYTIC FUNCTION   We say that a function f is analytic at 

x

0

 if f can be 

represented by a Taylor series in some neighborhood of 

x

0

  

We see that the function and are analytic at 0, while the function  

f (x) = {e

−1/x

2

.  if x ≠ 0     

0.        if x = 0

 

Is not, A condition that guarantees analytic of an infinitely differentiable function is given below 

Theorem 1. Suppose that the function f has continuous derivatives of all orders in a neighborhood 
N

(x

0

)  of the number x

0

.Then  f is  analytic at

  x

0

 if and  only  if   


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

lim

n→∞

R

n

(x) = lim

n→∞

f

(n+1)

(C

n

)

(n + 1)!

(x − x

0

)

n+1

= 0                                                                        (14) 

For  every  x in N

(x

0

) whereC

n

 is  between 

x

0

 and x 

REMARK    The expression between the equal sings in (14) is simply the remainder term given 
by Taylor 's theorem  

Proof :The hypotheses of Taylor 's theorem apply, so that can write, for any n, 

f(x) = P

n

(x) + f(x) = R

n

(x).                                                                                                   (15) 

Where

  P

n

(x) is the  nth  degree  Taylor  Polynomial  for  f  To  show  that  f is  analytic ,  we 

must  show  that 

lim

n→∞

P

n

(x) = f (x)                                                                                                                         (16) 

For every

 x in  N(x

0

) But if x  is  in N(x

0

)  we  obtain , from  (14)and  (15) , 

lim

n→∞

P

n

(x) = lim

n→∞

[f (x) − R

n

(x)] = f (x) − lim

n→∞

R

n

(x) = f (x) − 0 = f (x) 

Conversely , if  is  analytic,  then

 f (x) = lim

n→∞

P

n

(x)so R

n

(x) → 0 as n  → ∞ 

EXAMPLE  4 If

 f (x) = e

x

 thenf

(n)

(x) = e

x

. and 

                                                                                             

 0 < C

n

  < |x|    

lim

n→∞

|

f

(n+1)

(C

n

)

(n + 1)!

(x − x

0

)

n+1

 | = lim

n→∞

e

C

n

|x|

(n+1)

(n + 1)!

≤ e

|x|

  lim

n→∞

|x|

(n+1)

(n + 1)!

→ 0 . 

Since 

|x|

(n+1)

(n+1)!

  is the 

(n + 2) and term in the converging power series ∑

|x|

k

k=0

/k! and the terms in 

a converging power series 

→ 0 , Since this result is true for any  x ∈  ℝ  we may take  N =

(−∞. ∞) to conclude that the series (12) is valid for every real number x 

EXAMPLE  5 Let   Since all derivatives of cos x are equal to

 ± sin x  or  ± cos x . we see 

that

|f

(n+1)

(C

n

)| ≤ 1 Then forx

0

= 0. |R

n

(x)| ≤ |x|

(n+1)

/(n + 1)! which→ 0 as n → ∞. so  that 

the series(13) is also valid for every real number x  

EXAMPLE  6 it is evident that for the function in Example 3,

 R

n

(x) ↛ 0 if  x  ≠ 0  This follows 

from the fact that 

R

n

(x) = f (x) − P

n

(x) = e

1

x2

− 0 = e

1

x2

≠ 0 if  x ≠ 0  

EXAMPLE  7  Find  the  Taylor  expansion  for

 f (x) = In  x at x = 1 


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

Solution  Since  

f

(x) =

1

x

. f

′′

(x) = −

1

x

2

. f

′′

(x) =

2

x

3

.  f

(4)

(x) =   −

6

x

4

  . ⋯. 

f

(n)

(x) =

(−1)

n+1

(n − 1)!

x

.  we find  that  f(1) = 0. f

(1) = 1. f

′′

(1) = −1. f

′′′

(1) = 2 . 

f

(4)

(1) = −6. ⋯.  f

(n)

(1) = (−1)

n+1

(n + 1)! Then  wherever valid . 

In  x = ∑ f

(k)

(1)

(k − 1)

k

k!

k=0

                                                                                                                      (17) 

we showed that  

In (1 + x) = ∑

(−1)

k+1

x

k

k

+ R

n+1

(x).

n+1

k=1

                                                                                (18) 

Where

  R

n+1

(x) → 0 as n → ∞ whenever   −1 < x ≤ 1    From (18) we see that 

In u = In [ 1 + (u − 1)] ∑

(−1)

k+1

(u − 1)

k

k

+ R

n+1

(u − 1).

n+1

k=1

                                    (19) 

Where

  R

n+1

(u − 1) → 0 as n → ∞  whenever  −1 < x ≤ u − 1 ≤ 1. or  0  < u ≤ 2 But this 

implies that the series (17) converges to In (x) for

0 < x ≤ 2   Whenx = 2 . we obtain from (17),  

In 2 = 1 −

1
2

+

1
3

1
4

+

1
5

− ⋯ = ∑

(−1)

k+1

k

k=1

.                                                             (20) 

EXAMPLE  8  Find  a Taylor  series for 

f (x) = sin x  at  x =

π

3

 

Solution  Here

f  (

π

3

) =

√3

2

. f

(

π

3

) =

1

2

. f

′′

(

π

3

) = −

√3

2

. f

′′′

(

π

3

) = −

1

2

   and so on, so that 

   

 

 

sin x =

√3

2

+

1
2

(x −

π
3

) −

√3

2

[x − (

π
3)]

2

2!

1
2

[x − (

π
3)]

3

3!

+

√3

2

[x − (

π
3)]

4

4!

+ ⋯ 

The proof that this series is valid for every real number x is similar to the proof in Example 5 and 
is therefore omitted  


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

We provide here a list of useful Maclaurin series: 

e

x

= ∑

x

k

k!

k=0

= 1 + x +

x

2

2!

+

x

3

3!

+ ⋯                                                                                     (21) 

cos x = ∑

(−1)

k

x

2k

(2k)!

k=0

= 1 −

x

2

2!

+

x

4

4!

x

6

6!

+ ⋯                                                                (22) 

sin x = ∑

(−1)

k

x

2k+1

(2k + 1)!

= x −

x

3

3!

+

x

5

5!

x

7

7!

k=0

+ ⋯                                                            (23) 

cosh x = ∑

x

2k

(2k)!

k=0

= 1 +

x

2

2!

+

x

4

4!

x

6

6!

+ ⋯                                                                        (24) 

sinh x = ∑

x

2k+1

(2k + 1)!

= x −

x

3

3!

+

x

5

5!

x

7

7!

k=0

+ ⋯                                                                (25) 

BINOMIAL SERIES 

We close this section by deriving another series that is quite useful. Let

 f (x) = (1 + x)

r

.  where r 

is a real number not equal to an integer. We have 

 

f

(x) = (1 + x)

r−1

 

f

′′

(x) = r(r − 1)(1 + x)

r−2

f

′′′

(x) = r(r − 1)(r − 2)(1 + x)

r−3

 ⋮ 

f

(n)

(x) = r(r − 1)(r − 2) ⋯ (r − n + 1)(1 + x)

r−n

 

Not that  since  r  is not  an  integer ,

 r − n is never  equal  to  0 , all derivatives  exist  and  are  

nonzero  as long as

 x ≠ −1   Then 

f(0) = 1 . 

f′(0) = r . 

 

 


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

f

′′(0)

= r(r − 1). 

⋮ 

f

(n)

(0) = r(r − 1) ⋯ (r − n + 1) . 

And we can write 

(1 + x)

r

= 1 + rx +

r(r − 1)

2!

x

2

+

r(r − 1)(r − 2)

3!

x

3

+ ⋯ 

+

r(r − 1) ⋯ (r − n + 1)

n!

x

n

+ ⋯                                                                      (26) 

= 1 + ∑

r(r − 1) ⋯ (r − k + 1)

k!

x

k

k=0

 

The series (26) is called the binomial series  

PROBLMS  

  

1 ∙ Find the Maclaurin series     sin x for all real x  

2. Find the Taylor series for 

e

x

 at  1 

3. Find the Maclaurin series for

e

−x

 

4. Find the Taylor series for 

cos x   at

π

4

 

5.Find the Taylor series for 

sinh  x   at In 2

 

6. Find the Maclaurin series for

  e

ax

 . a is  real 

 

7. Find the Maclaurin series for

 x e

x

  

8. Find the Maclaurin series for

 x

2

 e

−x

2

  

9. Find the Maclaurin series for

(sin x)/x 

10. Find the Taylor series for 

 e

x

 at  x = −1 

11. Find the Maclaurin series for

sin

2

 x[Hint ∶ sin

2

 x = (1 − cos 2x)/2] 

12. Find the Taylor series of

  √x at x = 4. What is its radius of convergence? 

13. Find the Maclaurin series  of   

sin

−1

xWhat  is its  radius of convergence? 

Hint: Expand

1

√1−x

2

 and  in 


background image

Lecture no.2-8                                                                               by Hussein J. AbdulHussein 

Advanced Calculus II                                               Al Muthanna University, College of Science                  
 

 

14. Use the Maclaurin series for

  sin x to obtain the Maclaurin series for sin x

2

 

15. Find the Maclaurin series for

 cos x

2

 

16. Use  Equation  (26) to find  a power series  representation  for 

√1 + x

4

 

17. Use  the result of problem 26 to find  a power  series representation  for 

√1 + x

3

4

   

 

 




رفعت المحاضرة من قبل: Cruz Maldanado
المشاهدات: لقد قام 0 عضواً و 217 زائراً بقراءة هذه المحاضرة








تسجيل دخول

أو
عبر الحساب الاعتيادي
الرجاء كتابة البريد الالكتروني بشكل صحيح
الرجاء كتابة كلمة المرور
لست عضواً في موقع محاضراتي؟
اضغط هنا للتسجيل